Question

观察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
把以上三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2008×2009

=

2008

2009

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

n

n+1

．
（3）探究并计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2006×2008

．

Answer 1

分析：观察得到分子为1，分母为两个相邻整数的分数可化为这两个整数的倒数之差，即

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；然后根据此规律把各分数转化，再进行分数的加减运算．对于（3）先提

1

4

出来，然后和前面的运算方法一样．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2008×2009

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2008

-

1

2009

=1-

1

2009

=

2008

2009

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；

（3）

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2006×2008

=

1

4

×（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

1003×1004

）
=

1

4

×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

1003

-

1

1004

）
=

1

4

×（1-

1

1004

）
═

1

4

×

1003

1004

=

1003

4016

．
故答案为：

1

n

-

1

n+1

；

2008

2009

；

n

n+1

．

点评：本题考查了关于数字变化的规律：通过观察数字之间的变化规律，得到一般性的结论，再利用此结论解决问题．