题目内容
【题目】综合与实践:
问题情境:在一次综合实践活动课上,同学们以菱形为对象,研究菱形旋转中的问题:
已知,在菱形ABCD中,BD为对角线,,AB=4,将菱形ABCD绕顶点A顺时针旋转,旋转角为(单位°).旋转后的菱形为.在旋转探究活动中提出下列问题,请你帮他们解决.
观察证明:
(1)如图1,若旋转角,与BD相交于点M,AB与相交于点N.请说明线段DM与的数量关系;
操作计算:
(2)如图2,连接,菱形ABCD旋转的过程中,当与AB互相垂直时,的长为 ;
(3)如图3,若旋转角,分别连接,,过点A分别作,,连接EF,菱形ABCD旋转的过程中,发现在中存在长度不变的线段EF,请求出EF长度;
操作探究:
(4)如图4,在(3)的条件下,请判断以,,三条线段长度为边的三角形是什么特殊三角形,并说明理由.
【答案】(1),理由见解析;(2);(3)2;(4)以,,三条线段为边的三角形是直角三角形,理由见解析
【解析】
(1)根据旋转的性质利用ASA易证得,从而证得;
(2)证得点在菱形的对角线AC上,即可求解;
(3)利用等腰三角形三线合一的性质证明EF是的中位线,即可求解;
(4)以为边向外作等边三角形,利用证得,求得,即可求解.
(1),
理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB= AD.
∴∠ADB=∠ABD,
由旋转的性质可得:,
∴,
∴,
∴,
在和中,,
∴(ASA) ,
∴;
(2)连接菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O,
∵四边形ABCD是菱形,且,AB=4,
∴,
∴,则,
根据旋转的性质,且与AB互相垂直,
∴,
∴点在菱形ABCD的对角线AC上,
∴
∴;
(3)如图,连接BD,
根据旋转的性质可知:
∵ AE⊥D,
∴(等腰三角形三线合一),同理BF=F,
∴EF是的中位线,
∴,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,
又∵,是等边三角形,
∴,
∴;
(4)以,,三条线段为边的三角形是直角三角形,
理由如下:
如图,以为边向外作等边三角形,连接DB,CM,
∵四边形ABCD是菱形,,
∴与是等边三角形,,
由(3)可知:与都是等腰三角形,
∴
,
∵与都是等边三角形,
∴,,,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,,
∴,
∴是直角三角形,
即以,,三条线段长度为边的三角形是直角三角形.