题目内容

【题目】综合与实践:

问题情境:在一次综合实践活动课上,同学们以菱形为对象,研究菱形旋转中的问题:

已知,在菱形ABCD中,BD为对角线,AB=4,将菱形ABCD绕顶点A顺时针旋转,旋转角为(单位°).旋转后的菱形为.在旋转探究活动中提出下列问题,请你帮他们解决.

观察证明:

1)如图1,若旋转角BD相交于点MAB相交于点N.请说明线段DM的数量关系;

操作计算:

2)如图2,连接,菱形ABCD旋转的过程中,当AB互相垂直时,的长为

3)如图3,若旋转角,分别连接,过点A分别作,连接EF,菱形ABCD旋转的过程中,发现在中存在长度不变的线段EF,请求出EF长度;

操作探究:

4)如图4,在(3)的条件下,请判断以三条线段长度为边的三角形是什么特殊三角形,并说明理由.

【答案】(1),理由见解析;(2);(3)2;(4)以三条线段为边的三角形是直角三角形,理由见解析

【解析】

1)根据旋转的性质利用ASA易证得,从而证得

2)证得点在菱形的对角线AC上,即可求解;

3)利用等腰三角形三线合一的性质证明EF的中位线,即可求解;

4)以为边向外作等边三角形,利用证得,求得,即可求解.

1

理由如下:

∵四边形ABCD是菱形,

AB= AD

∴∠ADB=ABD

由旋转的性质可得:

中,

(ASA)

2)连接菱形ABCD的对角线ACBD相交于O

∵四边形ABCD是菱形,且AB=4

,则

根据旋转的性质,且AB互相垂直,

∴点在菱形ABCD的对角线AC上,

3)如图,连接BD

根据旋转的性质可知:

AED

(等腰三角形三线合一),同理BF=F

EF的中位线,

∵四边形ABCD是菱形,

AB=AD

又∵是等边三角形,

(4)以三条线段为边的三角形是直角三角形,

理由如下:

如图,以为边向外作等边三角形,连接DBCM,

∵四边形ABCD是菱形,

是等边三角形,

由(3)可知:都是等腰三角形,

都是等边三角形,

中,

,

是直角三角形,

即以三条线段长度为边的三角形是直角三角形.

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