题目内容

已知直线y=kx-3与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点C,抛物线经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动,点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍.

(1)求此抛物线的解析式和直线的解析式;
(2)如果点P和点Q同时出发,运动时间为t(秒),试问当t为何值时,以A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似;
(3)在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D,使得△ACD的面积最大.若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)直线的解析式为y=x-3,抛物线解析式为
(2)①t=,②t=;(3)存在,理由见解析.

解析试题分析:(1)将A点坐标代入直线的解析式中,即可求得k的值,从而确定该直线的解析式;将A、C的坐标代入抛物线的解析式中,可求得m、n的值,从而确定抛物线的解析式.
(2)根据(1)得到的抛物线解析式,可求得点B的坐标,根据P、Q的运动速度,可用t表示出BP、CQ的长,进而可得到AQ、AP的长,然后分三种情况讨论:
①∠APQ=90°,此时PQ∥OC,可得到△APQ∽△AOC,根据相似三角形所得比例线段即可求得t的值;
②∠AQP=90°,亦可证得△APQ∽△ACO,同①的方法可求得此时t的值;
③∠PAQ=90°,显然这种情况是不成立的.
(3)过D作y轴的平行线,交直线AC于F,设出点D的横坐标,根据抛物线和直线AC的解析式可表示出D、F的纵坐标,进而可求得DF的长,以DF为底,A点横坐标的绝对值为高即可得到△ADC的面积表达式(或由△ADF、△CDF的面积和求得),由此可求出关于△ADC的面积和D点横坐标的函数关系,根据函数的性质即可求得△ADC的面积最大值及对应的D点坐标.
试题解析:
∵直线y=kx-3过点A(4,0),∴0=4k-3,解得k=
∴直线的解析式为y=x-3.
由直线y=x-3与y轴交于点C,可知C(0,-3).
,解得m=
∴抛物线解析式为
(2)对于抛物线
令y=0,则,解得x1=1,x2=4.
∴B(1,0).
∴AB=3,AO=4,OC=3,AC=5,AP=3-t,AQ=5-2t.
①若∠Q1P1A=90°,则P1Q1∥OC(如图1),

∴△AP1Q1∽△AOC.
,∴.解得t=
②若∠P2Q2A=90°,∵∠P2AQ2=∠OAC,∴△AP2Q2∽△AOC.
,∴.解得t=
综上所述,当t的值为时,以P、Q、A为顶点的三角形与△AOC相似.
(3)答:存在.
过点D作DF⊥x轴,垂足为E,交AC于点F(如图2).

∴SADF=DF·AE,SCDF=DF·OE.
∴SACD=SADF+SCDF=DF×(AE+OE)=×4(DE+EF)=2×()=
∴SACD=(0<x<4).
又0<2<4且二次项系数,∴当x=2时,SACD的面积最大.
而当x=2时,y=
∴满足条件的D点坐标为D(2,).
考点:二次函数综合题.

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