Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知P（,）,R（,）两点，且，，若过点P作轴的平行线，过点R作轴的平行线，两平行线交于一点S，连接PR，则称△PRS为点P，R，S的“坐标轴三角形”.若过点R作轴的平行线，过点P作轴的平行线，两平行线交于一点，连接PR，则称△RP为点R，P，的“坐标轴三角形”.右图为点P，R，S的“坐标轴三角形”的示意图.

（1）已知点A（0，4），点B（3，0）,若△ABC是点A，B，C的“坐标轴三角形”，则点C的坐标为 ；

（2）已知点D（2，1），点E（e，4），若点D，E，F的“坐标轴三角形”的面积为3，求e的值.

（3）若的半径为，点M（，4），若在上存在一点N，使得点N，M，G的“坐标轴三角形”为等腰三角形，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（3，4）；（2）或；（3）m的取值范围是或.

【解析】

（1）根据点C到x轴、y轴的距离解答即可；

（2）根据“坐标轴三角形”的定义求出线段DF和EF，然后根据三角形的面积公式求解即可；

（3）根据题意可得：符合题意的直线MN应为y=x+b或y=－x+b．①当直线MN为y=x+b时，结合图形可得直线MN平移至与⊙O相切，且切点在第四象限时，b取得最小值，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得b的最小值，进而可得m的最大值；当直线MN平移至与⊙O 相切，且切点在第二象限时，b取得最大值，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得b的最大值，进而可得m的最小值，可得m的取值范围；②当直线MN为y=－x+b时，同①的方法可得m的另一个取值范围，问题即得解决.

解：（1）根据题意作图如下：

由图可知：点C到x轴距离为4，到y轴距离为3，∴C（3，4）；

故答案为：（3，4）；

（2） ∵点D（2，1），点E（e，4），点D，E，F的“坐标轴三角形”的面积为3，

∴，，∴，即=2，解得：e=4或e=0；

（3）由点N，M， G的“坐标轴三角形”为等腰三角形可得：直线MN为y=x+b或y=－x+b.

①当直线MN为y=x+b时，由于点M的坐标为（m，4），可得m=4－b，

由图可知：

当直线MN平移至与⊙O相切，且切点在第四象限时，b取得最小值.

此时直线MN记为M1 N1，其中N1为切点，T1为直线M1 N1与y轴的交点.

∵△O N1T1为等腰直角三角形，ON=，∴，

∴b的最小值为－3，∴m的最大值为m=4－b=7；

当直线MN平移至与⊙O 相切，且切点在第二象限时，b取得最大值.

此时直线MN记为M2 N2，其中N2为切点，T2为直线M2 N2与y轴的交点.

∵△ON2T为等腰直角三角形，ON2=，∴，

∴b的最大值为3，∴m的最小值为m=4－b=1，

∴m的取值范围是；

②当直线MN为y=－x+b时，同理可得，m=b－4，

当b=3时，m=－1；当b=－3时，m=－7；

∴m的取值范围是.

综上所述，m的取值范围是或.