题目内容
如图,已知AB是⊙O1的直径,点C是⊙O1上不同于A,B的一点,以线段AC为直径作⊙O2交AB于点D,过点D作DE∥BC,交⊙O2于点E,交AC于点F.求证:
(1)EC是⊙O1的切线;
(2)CE2=EF•BC.
(1)EC是⊙O1的切线;
(2)CE2=EF•BC.
证明:(1)连接O1C,则∠O1CB=∠B,
∵DE∥BC,
∴∠EDA=∠B.
∵∠EDA=∠ECA,
∴∠ECA=∠O1CB.
∵AB是⊙O1的直径,
∴∠ACO1+∠O1CB=90°.
∵∠ECA=∠O1CB,
∴∠ACO1+∠ECA=90°.
∴EC是⊙O1的切线.
(2)连接CD,则∠CDA=∠CDB=90°,
∵DE∥BC,∠ACB=90°,
∴∠CFD=∠ACB=90°.
∵AC是⊙O2的直径,
∴AC垂直平分ED.
∴EF=FD,CE=CD.
∵∠FDC=∠DCB,∠CFD=∠BDC=90°,
∴△CFD∽△BDC.
∴
=
.
∴CD2=FD•BC.
∵EF=FD,CE=CD,
∴CE2=EF•BC.
∵DE∥BC,
∴∠EDA=∠B.
∵∠EDA=∠ECA,
∴∠ECA=∠O1CB.
∵AB是⊙O1的直径,
∴∠ACO1+∠O1CB=90°.
∵∠ECA=∠O1CB,
∴∠ACO1+∠ECA=90°.
∴EC是⊙O1的切线.
(2)连接CD,则∠CDA=∠CDB=90°,
∵DE∥BC,∠ACB=90°,
∴∠CFD=∠ACB=90°.
∵AC是⊙O2的直径,
∴AC垂直平分ED.
∴EF=FD,CE=CD.
∵∠FDC=∠DCB,∠CFD=∠BDC=90°,
∴△CFD∽△BDC.
∴
CD |
BC |
FD |
CD |
∴CD2=FD•BC.
∵EF=FD,CE=CD,
∴CE2=EF•BC.
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