题目内容

如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（3）当t为何值时，△APQ的面积为 $数学公式$ 个平方单位？

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
由题意，得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
所以，直线AB的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+6；

（2）由AO=6，BO=8得AB=10，
所以AP=t，AQ=10-2t，
①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB．
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ （秒），
②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB．
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ （秒）；
∴当t为 $\text{[math]}$ 秒或 $\text{[math]}$ 秒时，△APQ与△AOB相似；

（3）过点Q作QE垂直AO于点E．

在Rt△AOB中，sin∠BAO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
在Rt△AEQ中，QE=AQ•sin∠BAO=（10-2t）• $\text{[math]}$ =8- $\text{[math]}$ t，
S_△APQ= $\text{[math]}$ AP•QE= $\text{[math]}$ t•（8- $\text{[math]}$ t），
=- $\text{[math]}$ t²+4t= $\text{[math]}$ ，
解得t=2（秒）或t=3（秒）．
∴当t为2秒或3秒时，△APQ的面积为 $\text{[math]}$ 个平方单位
分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，解得k，b即可；
（2）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB利用其对应边成比例解t．②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB利用其对应边成比例解得t．
（3）过点Q作QE垂直AO于点E．在Rt△AEQ中，QE=AQ•sin∠BAO=（10-2t）• $\text{[math]}$ =8- $\text{[math]}$ t，再利用三角形面积解得t即可．
点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．