Question

【题目】（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，则∠AEB的度数为　　，线段AD、BE之间的关系　　．

（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．①请判断∠AEB的度数，并说明理由；②当CM=5时，AC比BE的长度多6时，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）60°；相等；（2）①∠AEB=90°；②AE= 17．

【解析】

（1）易证∠ACD=∠BCE，即可求证△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可求得AD=BE，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB的大小；

（2）易证△ACD≌△BCE，利用勾股定理进行解答即可.

解：（1）∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°﹣∠CDE=120°，

∴∠AEB=∠CEB﹣∠CED=60°，

故答案为：60°；相等；

（2）①∠AEB=90°，

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE为等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°，

∵点A、D、E在同一直线上，

∴∠ADC=135°．

∴∠BEC=135°，

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

②∵CD=CE，CM⊥DE，

∴DM=ME=5．

在Rt△ACM中，AM2+CM2=AC2，

设：BE=AD=x，则AC=（6+x），

（x+5）2+52=（x+6）2，

解得：x=7．

所以可得：AE=AD+DM+ME=17．