题目内容
【题目】（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，则∠AEB的度数为 ，线段AD、BE之间的关系 ．
（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．①请判断∠AEB的度数，并说明理由；②当CM=5时，AC比BE的长度多6时，求AE的长．
【答案】（1）60°；相等；（2）①∠AEB=90°；②AE= 17．
【解析】
（1）易证∠ACD=∠BCE，即可求证△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可求得AD=BE，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB的大小；
（2）易证△ACD≌△BCE，利用勾股定理进行解答即可.
解：（1）∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°﹣∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB﹣∠CED=60°，
故答案为：60°；相等；
（2）①∠AEB=90°，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵点A、D、E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．
②∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME=5．
在Rt△ACM中，AM2+CM2=AC2，
设：BE=AD=x，则AC=（6+x），
（x+5）2+52=（x+6）2，
解得：x=7．
所以可得：AE=AD+DM+ME=17．
