题目内容
如图，AD是△ABC的角平分线，⊙O过点A且和BC相切于点D，和AB、AC分别交于点E，F，如果BD=AE，且BE=a，CF=b，则AF的长为（ ）
A．
| B．
| C．
| D．
|
如图，连接DE，
∵CB是圆的切线，
∴∠BDE=∠BAD，
而∠DEF=∠DAC=∠BAD，
∴∠BDE=∠DEF，
∴EF∥CB，
∴AB：AC=AE：AF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AB：AC=BD：DC，
∴AE：AF=BD：DC，
而BD=AE，
∴AF=CD，
又∵BC相切于点D，
∴CD2=CF•CA，
而CA=CF+AF=CF+CD，
∴AF2=CF（CF+AF），
而CF=b，
∴AF2=b2+AF×b，
∴AF2-AF×b-b2=0，
∴AF=
b（负值舍去）．
故选C．
∵CB是圆的切线，
∴∠BDE=∠BAD，
而∠DEF=∠DAC=∠BAD，
∴∠BDE=∠DEF，
∴EF∥CB，
∴AB：AC=AE：AF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AB：AC=BD：DC，
∴AE：AF=BD：DC，
而BD=AE，
∴AF=CD，
又∵BC相切于点D，
∴CD2=CF•CA，
而CA=CF+AF=CF+CD，
∴AF2=CF（CF+AF），
而CF=b，
∴AF2=b2+AF×b，
∴AF2-AF×b-b2=0，
∴AF=
1+
| ||
| 2 |
故选C．
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