题目内容

请阅读下列材料:
问题:如图1,在正方形ABCD和正方形CEFG中,点B、C、E在同一条直线上,M是线段AF的中点,连接DM,MG.探究线段DM与MG数量与位置有何关系.

小聪同学的思路是:延长DM交GF于H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.
请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)直接写出上面问题中线段DM与MG数量与位置有何关系
DM=MG且DM⊥MG
DM=MG且DM⊥MG

(2)将图1中的正方形CEFG绕点C顺时针旋转,使正方形CEFG对角线CF恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.
(3)如图3,将正方形CEFG绕点C顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,写出你的猜想.
分析:(1)根据两直线平行,内错角相等可得∠DAM=∠HFM,然后利用“角边角”证明△ADM和△FHM全等,根据全等三角形对应边相等可得DM=HM,AD=FH,再求出GD=GH,然后根据等腰直角三角形的性质解答;
(2)延长DM交CF于H,连接GD,GH,同(1)可得DM=HM,AD=FH,再利用“边角边”证明△CDG和△FHG全等,根据全等三角形对应边相等可得GD=GH,∠CGD=∠FGH,然后根据等腰直角三角形的性质解答;
(3)过点F作FH∥AD交DM的延长线于H,交DC的延长线于N,同(1)可得DM=HM,AD=FH,根据等角的余角相等求出∠DCG=∠HFG,然后利用“边角边”证明△CDG和△FHG全等,根据全等三角形对应边相等可得GD=GH,然后根据等腰直角三角形的性质解答.
解答:(1)解:如图1,在正方形ABCD和正方形CEFG中,AD∥BC∥GF,
∴∠DAM=∠HFM,
∵M是线段AF的中点,
∴AM=FM,
在△ADM和△FHM中,
∠DAM=∠HFM
AM=FM
∠AMD=∠FMH

∴△ADM≌△FHM(ASA),
∴DM=HM,AD=FH,
∵GD=CG-CD,GH=GF-FH,AD=CD,CG=GF,
∴GD=GH,
∴△DGH是等腰直角三角形,
∴DM=MG且DM⊥MG;

(2)如图2,延长DM交CF于H,连接GD,GH,
同(1)可得DM=HM,AD=FH,
∵CF恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上,
∴∠DCG=90°-45°=45°,
∠HFG=45°,
∴∠DCG=∠HFG,
在△CDG和△FHG中,
CD=FH
∠DCG=∠HFG
CG=FG

∴△CDG≌△FHG(SAS),
∴GD=GH,∠CGD=∠FGH,
∴∠DGH=∠CGD+∠CGH=∠FGH+∠CGH=∠CGF=90°,
∴△DGH是等腰直角三角形,
∴DM=MG且DM⊥MG;

(3)如图3,过点F作FH∥AD交DM的延长线于H,交DC的延长线于N,
同(1)可得DM=HM,AD=FH,
易得∠NCE=∠EFN,
∵∠DCG+∠NCE=180°-90°=90°,
∠HFG+∠EFN=90°,
∴∠DCG=∠HFG,
在△CDG和△FHG中,
CD=FH
∠DCG=∠HFG
CG=FG

∴△CDG≌△FHG(SAS),
∴GD=GH,∠CGD=∠FGH,
∴∠DGH=∠CGD+∠CGH=∠FGH+∠CGH=∠CGF=90°,
∴△DGH是等腰直角三角形,
∴DM=MG且DM⊥MG.
点评:本题考查了旋转的性质,正方形的性质,全等三角形的判定与性质,在正方形中证明三角形全等,并运用全等的性质解题是中考的热点,本题作辅助线,构造出全等三角形是解题的关键.
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