题目内容
（2013•贵阳模拟）请阅读下列材料：
问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：
路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π）
（1）设路线1的长度为L1，则L12=
（2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：L12=
（3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．
问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：
路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π）
（1）设路线1的长度为L1，则L12=
49
49
．设路线2的长度为L2，则L22=25+π2
25+π2
．所以选择路线2
2
（填1或2）较短．（2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：L12=
121
121
．路线2：L22=1+25π2
1+25π2
．所以选择路线1
1
（填1或2）较短．（3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．
分析：（1）根据勾股定理易得路线l22=AC2=高2+底面周长一半2；路线1：l12=（高+底面直径）2；让两个平方比较，平方大的，底数就大．
（2）根据勾股定理易得路线l22=AC2=高2+底面周长一半2；路线1：l12=（高+底面直径）2；让两个平方比较，平方大的，底数就大．
（3）根据（1）得到的结论让两个代数式分三种情况进行比较即可．
（2）根据勾股定理易得路线l22=AC2=高2+底面周长一半2；路线1：l12=（高+底面直径）2；让两个平方比较，平方大的，底数就大．
（3）根据（1）得到的结论让两个代数式分三种情况进行比较即可．
解答：解：（1）∵l12=72=49，
L22=AC2=AB2+BC2=52+（5π）2=25+25π2，
49＞25+25π2，
所以选择路线2较短；
（2）∵L12=（AB+BC）2=（1+10）2=121，
L22=1+25π2
∵l12-l22＞0，
∴l12＞l22，∴l1＞l2，所以要选择路线1较短．
（3）当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，
l22=AC2=AB2+
2=h2+4π2，
l12=（AB+BC）2=（h+4）2，
l12-l22=（h+4）2-h2+（2π）2=4π2-8h-16=4[（π2-4）-2h]；
当（π2-4）-2h=0时，即h=
时，l12=l22；
当h＞
时，l12＜l22；
当h＜
时，l12＞l22．
故答案为：49，25+π2，2；121，1+25π2，1．
L22=AC2=AB2+BC2=52+（5π）2=25+25π2，
49＞25+25π2，
所以选择路线2较短；
（2）∵L12=（AB+BC）2=（1+10）2=121，
L22=1+25π2
∵l12-l22＞0，
∴l12＞l22，∴l1＞l2，所以要选择路线1较短．
（3）当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，
l22=AC2=AB2+
 |
| BC |
l12=（AB+BC）2=（h+4）2，
l12-l22=（h+4）2-h2+（2π）2=4π2-8h-16=4[（π2-4）-2h]；
当（π2-4）-2h=0时，即h=
| π2-4 |
| 2 |
当h＞
| π2-4 |
| 2 |
当h＜
| π2-4 |
| 2 |
故答案为：49，25+π2，2；121，1+25π2，1．
点评：此题主要考查了平面展开最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．注意运用类比的方法做类型题．
练习册系列答案
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