题目内容
【题目】如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N． 
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；
（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．
【答案】
（1）证明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，
∴∠ACE+∠ACF= 
（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）= ×180°=90°，
∴三个角为直角的四边形AECF为矩形
（2）解：结论：MN∥BC且MN= BC．
证明：∵四边形AECF为矩形，
∴对角线相等且互相平分，
∴NE=NC，
∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，
∴MN∥BC，
又∵AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），
∴N是AC的中点，
若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，
则M1N是△ABC的中位线，MN∥BC，
而MN∥BC，M1即为点M，
所以MN是△ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM=BM）
∴MN= BC；
法二：延长MN至K，使NK=MN，
因为对角线互相平分，
所以AMCK是平行四边形，KC∥MA，KC=AM因为MN∥BC，
所以MBCK是平行四边形，MK=BC，
所以MN= BC
（3）解：△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）．
理由：∵四边形AECF是矩形，
∴AC⊥EF，
∵EF∥AC，
∴AC⊥CB，
∴∠ACB=90°．即△ABC是直角三角形．
【解析】（1）证明三个角是直角即可解决问题；（2）结论：MN∥BC且MN= BC．只要证明MN是△ABC的中位线即可；（3）△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）；
【考点精析】本题主要考查了角平分线的性质定理和菱形的性质的相关知识点，需要掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半才能正确解答此题．
