Question

（2012•广州）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．
（1）当α=60°时，求CE的长；
（2）当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
②连接CF，当CE²-CF²取最大值时，求tan∠DCF的值．

Answer 1

分析：（1）利用60°角的正弦值列式计算即可得解；
（2）①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△DFC全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，从而得解；
②设BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE²，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG²，从而得到CF²，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答．

解答：解：（1）∵α=60°，BC=10，
∴sinα=

CE

BC

，
即sin60°=

CE

10

=

3

2

，
解得CE=5

3

；

（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF．
理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，
∵F为AD的中点，
∴AF=FD，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠G=∠DCF，
在△AFG和△DFC中，

∠G=∠DCF ∠AFG=∠DFC(对顶角相等) AF=FD

，
∴△AFG≌△DFC（AAS），
∴CF=GF，AG=CD，
∵CE⊥AB，
∴EF=GF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠AEF=∠G，
∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，
∴AG=5，AF=

1

2

AD=

1

2

BC=5，
∴AG=AF，
∴∠AFG=∠G，
在△EFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，
又∵∠CFD=∠AFG（对顶角相等），
∴∠CFD=∠AEF，
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF；

②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，
∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x，
在Rt△BCE中，CE²=BC²-BE²=100-x²，
在Rt△CEG中，CG²=EG²+CE²=（10-x）²+100-x²=200-20x，
∵由①知CF=GF，
∴CF²=（

1

2

CG）²=

1

4

CG²=

1

4

（200-20x）=50-5x，
∴CE²-CF²=100-x²-50+5x=-x²+5x+50=-（x-

5

2

）²+50+

25

4

，
∴当x=

5

2

，即点E是AB的中点时，CE²-CF²取最大值，
此时，EG=10-x=10-

5

2

=

15

2

，
CE=

100-x2

=

100- 25 4

=

5 15

2

，
所以，tan∠DCF=tan∠G=

CE

EG

=

5 15 2

15 2

=

15

3

．

点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数的最值问题，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键，另外根据数据的计算求出相等的边长也很重要．