题目内容

(2012•广州)如图,抛物线y=-
3
8
x2-
3
4
x+3
与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
分析:(1)A、B点为抛物线与x轴交点,令y=0,解一元二次方程即可.
(2)根据题意求出△ACD中AC边上的高,设为h.在坐标平面内,作AC的平行线,平行线之间的距离等于h.根据等底等高面积相等,可知平行线与坐标轴的交点即为所求的D点.
从一次函数的观点来看,这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成.因此先求出直线AC的解析式,再求出平移距离,即可求得所作平行线的解析式,从而求得D点坐标.
注意:这样的平行线有两条,如答图1所示.
(3)本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义.
因为过A、B点作x轴的垂线,其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形,这样已经有符合题意的两个直角三角形;第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑,以AB为直径作圆,当直线与圆相切时,根据圆周角定理,切点与A、B点构成直角三角形.从而问题得解.
注意:这样的切线有两条,如答图2所示.
解答:解:(1)令y=0,即-
3
8
x2-
3
4
x+3
=0,
解得x1=-4,x2=2,
∴A、B点的坐标为A(-4,0)、B(2,0).

(2)抛物线y=-
3
8
x2-
3
4
x+3
的对称轴是直线x=-
-
3
4
2×(-
3
8
)
=-1,
即D点的横坐标是-1,
S△ACB=
1
2
AB•OC=9,
在Rt△AOC中,AC=
OA2+OC2
=
42+32
=5,
设△ACD中AC边上的高为h,则有
1
2
AC•h=9,解得h=
18
5

如答图1,在坐标平面内作直线平行于AC,且到AC的距离=h=
18
5
,这样的直线有2条,分别是l1和l2,则直线与对称轴x=-1的两个交点即为所求的点D.
设l1交y轴于E,过C作CF⊥l1于F,则CF=h=
18
5

∴CE=
CF
sin∠CEF
=
CF
sin∠OCA
=
18
5
4
5
=
9
2

设直线AC的解析式为y=kx+b,将A(-4,0),C(0,3)坐标代入,
得到
-4k+b=0
b=3
,解得
k=
3
4
b=3

∴直线AC解析式为y=
3
4
x+3.
直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位(
9
2
个长度单位)而形成的,
∴直线l1的解析式为y=
3
4
x+3-
9
2
=
3
4
x-
3
2

则D1的纵坐标为
3
4
×(-1)-
3
2
=-
9
4
,∴D1(-1,-
9
4
).
同理,直线AC向上平移
9
2
个长度单位得到l2,可求得D2(-1,
27
4

综上所述,D点坐标为:D1(-1,-
9
4
),D2(-1,
27
4
).

(3)如答图2,以AB为直径作⊙F,圆心为F.过E点作⊙F的切线,这样的切线有2条.
连接FM,过M作MN⊥x轴于点N.
∵A(-4,0),B(2,0),
∴F(-1,0),⊙F半径FM=FB=3.
又FE=5,则在Rt△MEF中,
ME=
52-32
=4,sin∠MFE=
4
5
,cos∠MFE=
3
5

在Rt△FMN中,MN=MF•sin∠MFE=3×
4
5
=
12
5

FN=MF•cos∠MFE=3×
3
5
=
9
5
,则ON=
4
5

∴M点坐标为(
4
5
12
5

直线l过M(
4
5
12
5
),E(4,0),
设直线l的解析式为y=kx+b,则有
4
5
k+b=
12
5
4k+b=0
,解得
k=-
3
4
b=3

所以直线l的解析式为y=-
3
4
x+3.
同理,可以求得另一条切线的解析式为y=
3
4
x-3.
综上所述,直线l的解析式为y=-
3
4
x+3或y=
3
4
x-3.
点评:本题解题关键是二次函数、一次函数以及圆等知识的综合运用.难点在于第(3)问中对于“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”条件的理解,这可以从直线与圆的位置关系方面入手解决.本题难度较大,需要同学们对所学知识融会贯通、灵活运用.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网