题目内容
【题目】如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,D、E两点分别在AC、BC上,且DE∥AB,DC=2,将△CDE绕点C顺时针旋转得到△CD′E′,如图2,点D、E对应点分别为D′、E′、D′、E′与AC相交于点M,当E′刚好落在边AB上时,△AMD′的面积为 .
【答案】3﹣5.
【解析】
试题分析:如图1,∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∵DE∥AB,
∴∠DEC=∠DCE=45°,∠EDC=90°,∴DE=CD=2,∴CE=CE′=4,
如图2,在Rt△ACE′中,∠E′AC=90°,AC=2,CE′=4,
∴cos∠ACE′=,∴∠ACE′=30°,∴∠D′CA=∠E′CB=15°,
又==,∴△D′CA∽△E′CB,∴∠D′AC=∠B=45°,
∴∠ACB=∠D′AC,∴AD′∥BC,
如图②过点C作CF⊥AD′,垂足为F,∵AD′∥BC,∴CF⊥BC.
∴∠FCD′=∠ACF﹣∠ACD′=30°.
在Rt△ACF中,AF=CF=,∴S△ACF=3,在Rt△D′CF中,CD′=2,∠FCD′=30°,
∴D′F=,∴S△D′CF=.
同理,SRt△AE′C=2,SRt△D′E′C=4,∵∠AME′=∠D′MC,∠E′AM=∠CD′M,
∴△AME′∽△D′MC,∴===
①∴S△AE′M=S△CD′M.②∵S△EMC+S△AE′M=S△AE′C=2,
③S△E′MC+S△CD′M=S△D′EC=4.
由③﹣②,得S△C′DM﹣S△AE′M=4﹣2,
由①,得S△CD′M=8﹣4,
∴S△AD′M=S△ACF﹣S△DCF﹣S△CD′M=3﹣5.
∴△AD′M的面积是3﹣5.
故答案为:3﹣5.
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