Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，求BD的长。

Answer 1

【答案】当F点在线段BC上时，BD=1，当F点在线段BC的延长线上时，BD=2.

【解析】试题分析：首先由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，即可求得AC的长、∠AEF与∠BAC的度数，然后分别从从∠AFE=90°与∠EAF=90°去分析求解，又由折叠的性质与三角函数的知识，即可求得CF的长，继而求得答案．

试题解析：根据题意得：∠EFB=∠B=30°，DF=BD，EF=EB，

∵DE⊥BC，

∴∠FED=90°∠EFD=60°,∠BEF=2∠FED=120°，

∴∠AEF=180°∠BEF=60°，

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，

∴AC=BCtan∠B=3×=，∠BAC=60°，

如图①若∠AFE=90°，

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°，

∴∠EFD+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，

∴∠FAC=∠EFD=30°，

∴CF=ACtan∠FAC=×=1，

∴BD=DF= =1；

如图②若∠EAF=90°，

则∠FAC=90°∠BAC=30°，

∴CF=ACtan∠FAC=×=1，

∴BD=DF==2，

∴△AEF为直角三角形时，BD的长为：1或2.