题目内容

【题目】如图,已知是⊙的直径, 是⊙上一点,∠的平分线交⊙于点,交⊙的切线于点,过点,交的延长线于点

(1)求证: 是⊙的切线;

(2)若.求值.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】试题解析:试题分析:(1)作辅助线,连接OD.根据切线的判定定理,只需证DFOD即可;
(2)连接BD.根据BE、DF两切线的性质证明BDE∽△ABE;又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相等求得ABE∽△AFD,所以BDE∽△AFD;最后由相似三角形的对应边成比例求得连接OC,交ADG,由,设BE=2x,则AD=3x,由于BDE∽△ABE,得到比例式求得AD=3x=6,BE=2x=4,AE=AD+DE=8,根据特殊角的三角函数值即可得到结果.

试题解析:(1)证明:如图,连结OD,
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAF=∠DAO,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠DAF=∠ODA,
∴AF∥OD,

DFAC,ODDF,
DFO的切线,

(2)连接BD,
直径AB,
∴∠ADB=90°
OBE相切,
∴∠ABE=90°
∵∠DAB+DBA=DBA+DBE=90°
∴∠DAB=DBE,
∴∠DBE=FAD,
∵∠BDE=AFD=90°
∴△BDE∽△AFD,

连接OC,交ADG,
,设BE=2x,则AD=3x,
∵△BDE∽△ABE,
解得:x1=2,x2=-(不合题意,舍去),
AD=3x=6,BE=2x=4,AE=AD+DE=8,
sinEAB=
∴∠EAB=30°
∴∠FAB=60°

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