题目内容
【题目】如图,已知是⊙的直径, 是⊙上一点,∠的平分线交⊙于点,交⊙的切线于点,过点作⊥,交的延长线于点.
(1)求证: 是⊙的切线;
(2)若.求值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题解析:试题分析:(1)作辅助线,连接OD.根据切线的判定定理,只需证DF⊥OD即可;
(2)①连接BD.根据BE、DF两切线的性质证明△BDE∽△ABE;又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相等求得△ABE∽△AFD,所以△BDE∽△AFD;最后由相似三角形的对应边成比例求得;②连接OC,交AD于G,由①,设BE=2x,则AD=3x,由于△BDE∽△ABE,得到比例式求得AD=3x=6,BE=2x=4,AE=AD+DE=8,根据特殊角的三角函数值即可得到结果.
试题解析:(1)证明:如图,连结OD,
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAF=∠DAO,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠DAF=∠ODA,
∴AF∥OD,
∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,
∴DF是⊙O的切线,
(2)①连接BD,
∵直径AB,
∴∠ADB=90°,
∵圆O与BE相切,
∴∠ABE=90°,
∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°,
∴∠DAB=∠DBE,
∴∠DBE=∠FAD,
∵∠BDE=∠AFD=90°,
∴△BDE∽△AFD,
∴
②连接OC,交AD于G,
由①,设BE=2x,则AD=3x,
∵△BDE∽△ABE,∴,∴,
解得:x1=2,x2=-(不合题意,舍去),
∴AD=3x=6,BE=2x=4,AE=AD+DE=8,
∴sin∠EAB=,
∴∠EAB=30°,
∴∠FAB=60°.
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