Question

如图所示，梯形ABCD，AD∥BC，AB在y轴上，B在原点，BC在x轴上．
（1）若A（0，8），AD长20cm，BC长26cm，求梯形的一腰CD的长度；

（2）若动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（单位：s）．
①当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形；
②当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形；
③当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形；

（3）用t表示四边形PQCD的面积S，并求出S的最大值．

Answer 1

（1）过点D作DE⊥BC于E，由题意，AB=8cm，AD=20cm，BC=26cm，
所以，BE=AD=20cm，故在Rt△DEC中，EC=6cm，DE=8cm，
即DC=10，即CD的长度为10cm．
；
（2）由题意，P点到D所用时间为20s，Q点到B点的时间为

26

3

．故Q点先到．
①根据题意，四边形PQCD为直角梯形，即AP=BQ，
所以有t=26-3t；
解之t=

13

2

s．
②四边形PQCD为平行四边形，即CQ=PD，
即20-t=3t；
解之t=5s．
③过点P作PF⊥BC于F，四边形PQCD为等腰梯形，
即CD=PQ，在Rt△PFQ中，PF=AB=8cm，PQ=CD=10cm，故QF=6cm，
所以，BQ=26-3t，AP=t，BF=32-3t，
即，32-3t=t，
解得t=8s．符合题意．

（3）根据题意，PD=20-t，CQ=3t，AB为四边形的高，且AB=8．
故S=

1

2

(20-t+3t)×8=4(20+2t)=80+8t．
由（2）知，Q点先到B点，
∴把t=

26

3

，代入公式，得S=

448

3

．
即最大值S=

448

3

．