题目内容
【题目】四边形
为正方形，点
为线段
上一点，连接
，过点作
，交射线
于点
，以、
为邻边作矩形
，连接
．
（1）如图，求证：矩形是正方形；
（2）若
，求的长度；
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是30°时，直接写出
的度数．
【答案】（1）证明见解析（2）
（3）当
与
的夹角为
时，
；当与
的夹角为时，
【解析】
（1）过
作
于点
，
于点
，证明
，得到
，根据正方形的判定定理证明即可；
（2）通过计算发现是
中点，点
与
重合，由（1）可知四边形
是正方形，由此即可解决问题．
（3）分两种情形考虑问题即可；
解：（1）证明：过作于点，于点，如图：
∵四边形
为正方形
∴
∴
∵
∴
∵
∵
∴
∴在
和
∴
∴
∴矩形是正方形．
（2）如图：
∵由（1）可知，在
中，
∴
∵
∴
∴与重合
∵四边形是正方形
∴
．
（3）①当与的夹角为时，如图：
∵
，
∴
∴
∴
；
②当与的夹角为时，如图：
∵
，
∴
∴
∵
∴．
∴综上所述， 或
故答案是：（1）证明见解析（2）（3）当与的夹角为时，；当与的夹角为时，
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