Question

如图在Rt△AOB中，∠BAO=90°，O为坐标原点，B在x轴正半轴上，A在第一象限，OA和AB的长是方程两根，且OA＜AB．
（1）求直线AB的解析式；
（2）将△AOB沿垂直于x轴的线段CD折叠（点C在x轴上，且不与点B重合，点D在线段AB上），使点B落在x轴上，对应点为E，是否存在这样的点C，使得△AED为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由OA和AB的长是方程x²-3+10=0的两根，且OA＜AB，解此方程即可求得OA与AB的长，然后由勾股定理求得OB的长，则可求得点B的坐标；然后作AF⊥x轴于F，由直角三角形的性质，即可求得AF的长，继而由勾股定理求得OF的长，即可求点A的坐标，然后由待定系数法求得直线AB的解析式；
（2）分别从ⅰ）当Rt△AED以点A为直角顶点时，点E与原点O重合与ⅱ）当Rt△AED以点E为直角顶点时去分析求解即可求得答案．
解答：解：（1）∵x²-3+10=0，
即（x-）（x-2）=0，
∴x₁=，x₂=2，
∵OA和AB的长是方程x²-3+10=0的两根，且OA＜AB，
∴OA=，AB=2，
∵∠BAO=90°，
∴OB==5，
作AF⊥x轴于F，如图①：
则AF===2，
∴OF===1，
∴A（1，2），B（5，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则有，
解得，
∴直线AB的解析式为：y=-x+；

（2）存在．
分两种情况讨论：
ⅰ）当Rt△AED以点A为直角顶点时，点E与原点O重合，如图②．
∵OC=BC=OB=，
∴C₁（，0）；
ⅱ）当Rt△AED以点E为直角顶点时，如图③，过点A作AF⊥x轴于F．
则OF=1．
∵∠AED=90°，
∴∠AEO+∠DEC=90°．
∵∠DEC=∠DBC，
∴∠AEO+∠DBC=90°．
又∵∠AOE+∠DBC=90°，
∴∠AOE=∠AEO．
∴△AOE是等腰三角形，
∴OE=2OF=2，
∴BE=3．
∴EC=，
∴OC=OE+EC=2+=．
∴C₂（，0）．
综上所述，存在这样的点C，使得△AED为直角三角形，点C的坐标为：C₁（，0）和C₂（，0）．
点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．