题目内容
等腰直角三角形ABC的斜边BC的长为8,直线MN∥BC且与AB、AC分别交于M、N,将△AMN沿直线MN翻折得△A′MN,设△A′MN与△ABC重合部分面积为y,MN=x,
(1)当A′在△ABC内部时,求y与x的函数关系式,并求x的取值范围;
(2)是否存在直线MN,使y的值为△ABC面积的
?若存在,求对应的x值;若不存在,说明理由.
(1)当A′在△ABC内部时,求y与x的函数关系式,并求x的取值范围;
(2)是否存在直线MN,使y的值为△ABC面积的
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(1)y=S△A′MN=
•
x•
x=
x2(0<x<4);
(2)S△ABC=
×8×4=16,当A′在BC上时,x=4,y=4,
∴①当A′在BC边上或在△ABC内部时,0<y≤4,
不在这个范围内,所以这时不存在直线MN.
②当A′在△ABC外部时,连AA′交MN于F,交BC于G,且A′F=AF=
x,
∴FG=4-
x,
∴A′G=
x-4+
x=x-4,
∴DE=2A′G=2x-8,
∴y=
(x+2x-8)×(4-
x)=-
x2+8x-16(其中4<x<8),
当y=
时,
∵-
x2+8x-16=
,
即:(3x-16)2=0,
解为x1=x2=
,
∵4<x<8,
∴存在直线MN使重叠部分面积为△ABC面积的
,
此时x=
.
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(2)S△ABC=
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∴①当A′在BC边上或在△ABC内部时,0<y≤4,
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②当A′在△ABC外部时,连AA′交MN于F,交BC于G,且A′F=AF=
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∴FG=4-
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∴A′G=
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∴DE=2A′G=2x-8,
∴y=
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当y=
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∵-
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即:(3x-16)2=0,
解为x1=x2=
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∵4<x<8,
∴存在直线MN使重叠部分面积为△ABC面积的
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此时x=
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