Question

（2013•嘉定区二模）如图，点E是正方形ABCD边BC上的一点（不与B、C重合），点F在CD边的延长线上，且满足DF=BE．联结EF，点M、N分别是EF与AC、AD的交点．
（1）求∠AFE的度数；
（2）求证：

CE

CM

=

AC

FC

．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是正方形，可得∠B=∠ADC=∠BAD=90°，AB=AD，易证得ABE≌△ADF（SAS），然后由全等三角形的性质，可求得AE=AF，∠BAE=∠DAF，继而可求得答案；
（2）由四边形ABCD是正方形，易证得△ABE∽△ADF，然后由相似三角形的对应边成比例，证得：

CE

CM

=

AC

FC

．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠ADC=∠BAD=90°，AB=AD．…（1分）
在△ABE和△ADF中，

BE=DF ∠B=∠ADF=90° AB=AD

∴ABE≌△ADF（SAS）．…（1分）
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF．…（1分）
∴∠EAF=∠EAD+∠DAF=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°．…（1分）
∵AE=AF，
∴∠AFE=∠AEF．
∴∠AFE=∠AEF=

1

2

×90°=45°．…（1分）

（2）方法1：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°．…（1分）
∵∠AEF=45°，
∴∠AEF=∠ACF．…（1分）
又∵∠AME=∠FMC，…（1分）
∴△ABE∽△ADF，…（2分）
∴

CE

CM

=

AC

FC

．…（1分）
方法2：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠ACD=45°．…（1分）
∵△ABE≌△ADF，
∴∠AEB=∠AFD．…（1分）
∵∠AEB=∠ACB+∠CAE=45°+∠CAE，∠AFD=∠AFE+∠CFM=45°+∠CFM，
∴∠CAE=∠CFM．…（2分）
又∵∠ACB=∠ACD，△ACE∽△FCM．…（1分）
∴

CE

CM

=

AC

FC

．…（1分）

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．