Question

【题目】（定义）如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线1的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．

（运用）如图2，在平面直坐标系xOy中，已知A（2，），B（﹣2，﹣）两点．

（1）C（4，），D（4，），E（4，）三点中，点　 　是点A，B关于直线x=4的等角点；

（2）若直线l垂直于x轴，点P（m，n）是点A，B关于直线l的等角点，其中m＞2，∠APB=α，求证：tan=；

（3）若点P是点A，B关于直线y=ax+b（a≠0）的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB=60°时，求b的取值范围（直接写出结果）．

Answer 1

【答案】（1）C（2）（3）b＜﹣且b≠﹣2或b＞

【解析】

（1）先求出B关于直线x=4的对称点B′的坐标，根据A、B′的坐标可得直线AB′的解析式，把x=4代入求出P点的纵坐标即可得答案；（2）如图：过点A作直线l的对称点A′，连A′B′，交直线l于点P，作BH⊥l于点H，根据对称性可知∠APG=A′PG，由∠AGP=∠BHP=90°可证明△AGP∽△BHP，根据相似三角形对应边成比例可得m=

根据外角性质可知∠A=∠A′=，在Rt△AGP中，根据正切定义即可得结论；（3）当点P位于直线AB的右下方，∠APB=60°时，点P在以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方，若直线y=ax+b（a≠0）与圆相交，设圆与直线y=ax+b（a≠0）的另一个交点为Q

根据对称性质可证明△ABQ是等边三角形，即点Q为定点，若直线y=ax+b（a≠0）与圆相切，易得P、Q重合，所以直线y=ax+b（a≠0）过定点Q，连OQ，过点A、Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M、N，可证明△AMO∽△ONQ，根据相似三角形对应边成比例可得ON、NQ的长，即可得Q点坐标，根据A、B、Q的坐标可求出直线AQ、BQ的解析式，根据P与A、B重合时b的值求出b的取值范围即可.

（1）点B关于直线x=4的对称点为B′（10，﹣），

∴直线AB′解析式为：y=﹣，

当x=4时，y=，

故答案为：C

（2）如图，过点A作直线l的对称点A′，连A′B′，交直线l于点P

作BH⊥l于点H

∵点A和A′关于直线l对称

∴∠APG=∠A′PG

∵∠BPH=∠A′PG

∴∠APG=∠BPH

∵∠AGP=∠BHP=90°

∴△AGP∽△BHP

∴，即，

∴mn=2，即m=，

∵∠APB=α，AP=AP′，

∴∠A=∠A′=，

在Rt△AGP中，tan

（3）如图，当点P位于直线AB的右下方，∠APB=60°时，

点P在以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方

若直线y=ax+b（a≠0）与圆相交，设圆与直线y=ax+b（a≠0）的另一个交点为Q

由对称性可知：∠APQ=∠A′PQ，

又∠APB=60°

∴∠APQ=∠A′PQ=60°

∴∠ABQ=∠APQ=60°，∠AQB=∠APB=60°

∴∠BAQ=60°=∠AQB=∠ABQ

∴△ABQ是等边三角形

∵线段AB为定线段

∴点Q为定点

若直线y=ax+b（a≠0）与圆相切，易得P、Q重合

∴直线y=ax+b（a≠0）过定点Q

连OQ，过点A、Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M、N

∵A（2，），B（﹣2，﹣）

∴OA=OB=

∵△ABQ是等边三角形

∴∠AOQ=∠BOQ=90°，OQ=，

∴∠AOM+∠NOD=90°

又∵∠AOM+∠MAO=90°，∠NOQ=∠MAO

∵∠AMO=∠ONQ=90°

∴△AMO∽△ONQ

∴,

∴，

∴ON=2，NQ=3，∴Q点坐标为（3，﹣2）

设直线BQ解析式为y=kx+b

将B、Q坐标代入得

，

解得

，

∴直线BQ的解析式为：y=﹣，

设直线AQ的解析式为：y=mx+n，

将A、Q两点代入，

解得 ，

∴直线AQ的解析式为：y=﹣3，

若点P与B点重合，则直线PQ与直线BQ重合，此时，b=﹣，

若点P与点A重合，则直线PQ与直线AQ重合，此时，b=，

又∵y=ax+b（a≠0），且点P位于AB右下方，

∴b＜﹣ 且b≠﹣2或b＞.