Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

Answer 1

【答案】D

【解析】

试题∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE=45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AE=AB，

∵AD=AB，

∴AE=AD，

又∠ABE=∠AHD=90°

∴△ABE≌△AHD（AAS），

∴BE=DH，

∴AB=BE=AH=HD，

∴∠ADE=∠AED=（180°﹣45°）=67.5°，

∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，

∴∠AED=∠CED，故①正确；

∵∠AHB=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），

∴∠OHE=∠AED，

∴OE=OH，

∵∠DOH=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，

∴∠DOH=∠ODH，

∴OH=OD，

∴OE=OD=OH，故②正确；

∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，

∴∠EBH=∠OHD，

又BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°

∴△BEH≌△HDF（ASA），

∴BH=HF，HE=DF，故③正确；

由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD-DF，

∴BC-CF=（CD+HE）-（CD-HE）=2HE，所以④正确；

∵AB=AH，∠BAE=45°，

∴△ABH不是等边三角形，

∴AB≠BH，

∴即AB≠HF，故⑤错误；

综上所述，结论正确的是①②③④共4个．

故选C．