Question

如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE=BD，连结AE、DE、DC.

①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数.

Answer 1

(1)证明见解析；（2）15°．

试题分析：（1）由∠ABC为直角，得到∠CBD也为直角，得到一对角相等，再由AB=CB，BE=BD，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形CBD全等，得证；
（2）由AB=BC，且∠ABC为直角，得到三角形ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC为45°，由∠CAB-∠CAE求出∠BAE的度数，根据全等三角形的对应角相等得到∠BAE=∠BCD，即可求出∠BCD的度数．
试题解析：（1）证明：∵∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，
∴∠ABE=∠CBD=90°，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
又∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=15°．
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD=∠BAE=15°．
考点: 1.全等三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质．