题目内容
【题目】如图,在△ABC中,以BC为直径的圆交AC于点D,∠ABD=∠ACB.
(1)求证:AB是圆的切线;
(2)若点E是BC上一点,已知BE=4,tan∠AEB= ,AB:BC=2:3,求圆的直径.
【答案】
(1)
证明:∵BC是直径,
∴∠BDC=90°,
∴∠ACB+∠DBC=90°,
∵∠ABD=∠ACB,
∴∠ABD+∠DBC=90°
∴∠ABC=90°
∴AB⊥BC,
∴AB是圆的切线.
(2)
解:在RT△AEB中,tan∠AEB= ,
∴ = ,即AB= BE= ,
在RT△ABC中, = ,
∴BC= AB=10,
∴圆的直径为10.
【解析】本题考查切线的判定、三角函数等知识,解题的关键是记住经过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线,属于中考常考题型.(1)欲证明AB是圆的切线,只要证明∠ABC=90°即可.(2)在RT△AEB中,根据tan∠AEB= ,求出BC,在在RT△ABC中,根据 = 求出AB即可.
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