题目内容

【题目】(1)问题情境:如图1,在正方形ABCD中,E、F、G、H分别为AB,BC,CD,DA边上的动点,连接EG,HF相交于点O,且∠HOE=∠ADC.试探究:EG与FH的数量关系,并说明理由.

(2)拓展延伸:如图2,在菱形ABCD中,E、F、G、H分别为AB,BC,CD,DA边上的动点,连接EG,HF相交于点O,且∠HOE=∠ADC,试探究:(1)中EG与FH的数量关系还成立吗?并说明理由.

(3)反思提升:若将(2)中的菱形ABCD改为平行四边形ABCD(如图3),AB=a,AD=b,其他条件不变,则的猜想正确吗?请说明理由.

【答案】(1)EG=FH,理由见解析;(2)成立,理由见解析;(3)正确,理由见解析.

【解析】

试题分析:(1)过G作GM⊥AB于M,过H作HN⊥BC于N,由正方形的性质和矩形的性质易得GM=HN,再利用四边形的内角和为360°,可得∠DHO+∠DGE=360°-90°-90°=180°,易得∠HFN=∠GEM,由AAS定理可证得△GME≌△HNF,利用全等三角形的性质可得结论;

(2)过G作GM⊥AB于M,过H作HN⊥BC于N,由菱形的性质可得DC=AB=BC,AD∥BC,DC∥AB,利用菱形的面积公式易得GM=HN,由AAS定理,易证得△GME≌△HNF,又全等三角形的性质可得结论;

(3)过G作GM⊥AB于M,过H作HN⊥BC于N,利用平行四边形的性质和面积公式可得,易得△GME∽△HNF,利用相似三角形的性质可得猜想正确.

试题解析:(1)EG=FH

理由是:如图1,过G作GM⊥AB于M,过H作HN⊥BC于N,

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠D=∠A=∠B=∠C=90°,

又∵GM⊥AB,HN⊥BC

∴四边形ADGM、四边形AHNB是矩形,

∴HN=AB,AD=GM,

∴HN=GM,

∵∠ADC=∠HOE=90°,

∴∠DHO+∠DGE=360°-90°-90°=180°,

∵AD∥BC,DC∥AB,

∴∠NFH=∠DHF,∠DGE+∠GEM=180°,

∴∠HFN=∠GEM,

∵HN⊥BC,GM⊥AB,

∴∠GME=∠HNF=90°,

在△GME和△HNF中

∴△GME≌△HNF(AAS),

∴EG=FH;

(2)EG=FH,

理由是:如图2,过G作GM⊥AB于M,过H作HN⊥BC于N,

∵四边形ABCD是菱形,

∴DC=AB=BC,AD∥BC,DC∥AB,

∵菱形ABCD的面积S=AB×GM=BC×HN,

∴GM=HN,

∵GM⊥AB,HN⊥BC,

∴∠GME=∠HNF=90°,

∵∠ADC=∠HOE,

∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°

∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°,

∵AD∥BC,DC∥AB,

∴∠NFH=∠DHF,∠DGE+∠GEM=180°,

∴∠HFN=∠GEM,

在△GME和△HNF中

∴△GME≌△HNF(AAS),

∴EG=FH;

(3)正确.

理由是:如图3,过G作GM⊥AB于M,过H作HN⊥BC于N,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,DC∥AB,

∵平行四边形ABCD的面积S=AB×GM=BC×HN

∵AB=a,AD=b,

∵GM⊥AB,HN⊥BC,

∴∠GME=∠HNF=90°,

∵∠ADC=∠HOE,

∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°,

∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°,

∵AD∥BC,DC∥AB,

∴∠NFH=∠DHF,∠DGE+∠GEM=180°,

∴∠HFN=∠GEM,

∴△GME∽△HNF,

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网