Question

已知二次函数y=x²-2mx+1．记当x=c时，函数值为y_c，那么，是否存在实数m，使得对于满足0≤x≤1的任意实数a，b，总有y_a+y_b≥1．

Answer 1

分析：求y_a+y_b≥1，实际上是求两个函数在0≤x≤1内的最小值之和大于或等于1，据此把问题转化，根据对称轴x=m，是否在0≤x≤1内，分类讨论．

解答：解：设y在0≤x≤1的最小值为M，原问题等价于2M≥1，M≥

1

2

，
二次函数y=x²-2mx+1的图象是一条开口向上的抛的线，
①当对称轴x=m≤0时，由图象可知，x=0时，y_最小=1，这时1≥

1

2

成立；
②当对称轴x=m，0＜m＜1时，由图象可知x=m时，y_最小且y_最小=1-m²，有1-m²≥

1

2

，m²≤

1

2

，故有0＜m≤

2

2

；
③当对称轴x=m，m≥1时，由图象可知，x=1时，y_最小且y_最小=2-2m，这时有2-2m≥

1

2

，m≤

3

4

与m≥1矛盾．
综上可知，满足条件的m存在，且m的取值范围是m≤

2

2

．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，由于图象开口向上，对称轴与抛物线的交点处函数有最小值，需要根据对称轴与x的范围，分类讨论，这些性质和分类讨论的思想要求掌握．