题目内容
已知:如图,在?ABCD中,∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E,DF与AE相交于点G.
(1)求证:AE⊥DF;
(2)若AD=10,AB=6,AE=4,求DF的长.
(1)求证:AE⊥DF;
(2)若AD=10,AB=6,AE=4,求DF的长.
(1)证明:在?ABCD中AB∥CD,
∴∠ADC+∠DAB=180°.
∵DF、AE分别是∠ADC、∠DAB的平分线,
∴∠ADF=∠CDF=
∠ADC,∠DAE=∠BAE=
∠DAB,
∴∠ADF+∠DAE=
(∠ADC+∠DAB)=90°,
∴∠AGD=90°,
∴AE⊥DF;
(2)过点D作DH∥AE,交BC的延长线于点H,
则四边形AEHD是平行四边形,且FD⊥DH.
∴DH=AE=4,EH=AD=10.
在?ABCD中AD∥BC,
∴∠ADF=∠CFD,∠DAE=∠BEA.
∴∠CDF=∠CFD,∠BAE=∠BEA.
∴DC=FC,AB=EB.
在?ABCD中,AD=BC=10,AB=DC=6,
∴CF=BE=6,BF=BC-CF=10-6=4.
∴FE=BE-BF=6-4=2,
∴FH=FE+EH=12,
在Rt△FDH中,DF=
=
=8
.
答:DF的长是8
.
∴∠ADC+∠DAB=180°.
∵DF、AE分别是∠ADC、∠DAB的平分线,
∴∠ADF=∠CDF=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴∠ADF+∠DAE=
1 |
2 |
∴∠AGD=90°,
∴AE⊥DF;
(2)过点D作DH∥AE,交BC的延长线于点H,
则四边形AEHD是平行四边形,且FD⊥DH.
∴DH=AE=4,EH=AD=10.
在?ABCD中AD∥BC,
∴∠ADF=∠CFD,∠DAE=∠BEA.
∴∠CDF=∠CFD,∠BAE=∠BEA.
∴DC=FC,AB=EB.
在?ABCD中,AD=BC=10,AB=DC=6,
∴CF=BE=6,BF=BC-CF=10-6=4.
∴FE=BE-BF=6-4=2,
∴FH=FE+EH=12,
在Rt△FDH中,DF=
FH2-DH2 |
122-42 |
2 |
答:DF的长是8
2 |
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