Question

如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次函数的图象交于y轴上的一点B，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．

（1）求二次函数的解析式；
（2）设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．

Answer 1

（1）（2）P₁（1，0）和P₂（，0）

解：（1）∵交x轴于点A，∴0=0.5x+2，解得x=－4。∴A点坐标为：（－4，0）。
∵与y轴交于点B，∴y=2。∴B点坐标为：（0，2）。
∵二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2
∴可设二次函数。
把B（0，2）代入得：a=。
∴二次函数的解析式为：，即。
（2）①当B为直角顶点时，过B作BP₁⊥AD交x轴于P₁点，

∵Rt△AOB∽Rt△BOP₁，∴。
∴，解得：OP₁=1。
∴P₁点坐标为（1，0），      
②当D为直角顶点时作P₂D⊥BD，连接BP₂，

将与2联立求出两函数另一交点坐标：D点坐标为：（5，），则AD=。
由A（－4，0），B（0，2）可得AB=。
∵∠DAP₂=∠BAO，∠BOA=∠ADP₂，
∴△ABO∽△AP₂D。∴。
∴，解得AP₂=。
则OP₂=。
∴P₂点坐标为（，0）。
③当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P₃（a，0），

则由Rt△OBP₃∽Rt△EP₃D得：，
∴。
∵方程无解，∴点P₃不存在。
综上所述，点P的坐标为：P₁（1，0）和P₂（，0）。
（1）根据交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．得出可设二次函数，进而求出即可。
（2）分点B为直角顶点，点D为直角顶点，点P为直角顶点三种情况讨论，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可。