题目内容

【题目】已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,.E是边AB的中点,联结DE、CE,且DE⊥CE.设AD=x,BC=y.

(1)如果∠BCD=60°,求CD的长;

(2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;

(3)联结BD.如果△BCD是以边CD为腰的等腰三角形,求x的值.

【答案】(1)4; (2)x>0,且; (3)

【解析】(1)首先过点D作DH⊥BC,垂足为点H,由AD∥BC,AB⊥BC,DH⊥BC,可求得DH的长,然后设CH=x,则 CD=2x,利用勾股定理即可求得方程:x2+(22=4x2,解此方程即可求得答案;

(2)首先取CD的中点F,连接EF,由梯形的中位线,可表示出EF的长,易得四边形ABHD是平行四边形,然后由勾股定理可得:(y﹣x)2+12=(x+y)2,继而求得答案;

(3)分别从CD=BD或CD=BC去分析求解即可求得答案.

解:(1)过点D作DH⊥BC,垂足为点H.

∵AD∥BC,AB⊥BC,DH⊥BC,

∴DH=AB=2

在Rt△DHC中,

∵∠BCD=60°,

∴∠CDH=30°.

∴CD=2CH,

设CH=x,则 CD=2x.

利用勾股定理,得 CH2+DH2=CD2

即得:x2+(22=4x2

解得 x=2(负值舍去).

∴CD=4;

(2)取CD的中点F,连接EF,

∵E为边AB的中点,

∴EF=(AD+BC)=(x+y).

∵DE⊥CE,

∴∠DEC=90°.

又∵DF=CF,

∴CD=2EF=x+y.

由AB⊥BC,DH⊥BC,得∠B=∠DHC=90°.

∴AB∥DH.

又∵AB=DH,

∴四边形ABHD是平行四边形.

∴BH=AD=x.

即得 CH=|y﹣x|,

在Rt△DHC中,利用勾股定理,得 CH2+DH2=CD2

即得 (y﹣x)2+12=(x+y)2

解得

∴所求函数解析式为

自变量x的取值范围是x>0,且

(3)当△BCD是以边CD为腰的等腰三角形时,有两种可能情况:CD=BD或CD=BC.

( i)如果CD=BD,由DH⊥BC,得 BH=CH.即得 y=2x.

利用,得

解得

经检验:,且不合题意,舍去.

( ii)如果CD=BC,则 x+y=y.

即得 x=0(不合题意,舍去),

综上可得:

“点睛”此题属于四边形的综合题.考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识.注意掌握辅助线的作法,掌握方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键.

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