Question

【题目】已知：如图，在□ABCD中，E为边CD的中点，联结AE并延长，交边BC的延长线于点F．

（1）求证：四边形ACFD是平行四边形；

（2）如果∠B+∠AFB=90°，求证：四边形ACFD是菱形．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）根据平行四边形的性质证出∠ADC=∠FCD，然后再证明△ADE≌△FCE可得AD=FC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；

（2）根据∠B+∠AFB=90°可得∠BAF=90°，根据平行四边形对边平行可得AB∥CD，利用平行线的性质可得∠CEF=∠BAF=90°，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论．

证明：（1）在□ABCD中，AD∥BF．

∴∠ADC=∠FCD．

∵E为CD的中点，

∴DE=CE．

在△ADE和△FCE中，，

∴△ADE≌△FCE（ASA）

∴AD=FC．

又∵AD∥FC，

∴四边形ACFD是平行四边形．

（2）在△ABF中，

∵∠B+∠AFB=90°，

∴∠BAF=90°．

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠CEF=∠BAF=90°，

∵四边形ACDF是平行四边形，

∴四边形ACDF是菱形．