Question

（2013•百色）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=

3

3

x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A₁、A₂、A₃，…在x轴上，点B₁、B₂、B₃，…在直线l上．若△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…均为等边三角形，则△A₅B₆A₆的周长是（　　）

• A．24

  3

• B．48

  3

• C．96

  3

• D．192

  3

Answer 1

分析：首先求得点A与B的坐标，即可求得∠OAB的度数，又由△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均为等边三角形，易求得OB₁=OA=

3

，A₁B₁=A₁A，A₂B₂=A₂A，则可得规律：OA_n=（2ⁿ-1）

3

．根据A₅A₆=OA₆-OA₅求得△A₅B₆A₆的边长，进而求得周长．

解答：解：∴点A（-

3

，0），点B（0，1），
∴OA=

3

，OB=1，
∴tan∠OAB=

1

3

=

3

3

，
∴∠OAB=30°，
∵△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均为等边三角形，
∴∠A₁OB₁=∠A₂A₁B₂=∠A₃A₂B₃=60°，
∴∠OB₁A=∠A₁B₂A=∠A₂B₃A=∠OAB=30°，
∴OB₁=OA=

3

，A₁B₂=A₁A，A₂B₃=A₂A，
∴OA₁=OB₁=

3

，OA₂=OA₁+A₁A₂=OA₁+A₁B₂=

3

+2

3

=3

3

，
同理：OA₃=7

3

，OA₄=15

3

，OA₅=31

3

，OA₆=63

3

，
则A₅A₆=OA₆-OA₅=32

3

．
则△A₅B₆A₆的周长是96

3

，
故选C．

点评：此题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数的知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．