Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线交于点D，过点B作BE⊥BA，交DC延长线于点E，连接OE，交⊙O于点F，交BC于点H，连接AC。

（1）求证：∠ECB＝∠EBC；

（2）连接BF，CF，若CF＝6，sin∠FCB=，求AC的长。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）AC的长为

【解析】试题分析：（1）只要证明EB是⊙O的切线，利用切线长定理可知EC=EB，即可解决问题．
（2）连接CF、CO、AC．在Rt△CFH中，由CF=6，sin∠FCH=，推出FH=CFsin∠FCH=，CH=，设OC=OF=x，在Rt△COH中，由OC2=CH2+OH2，可得x2=（）2+（x-）2，解得x=5，推出OH=，再利用三角形中位线定理证明AC=2OH即可解决问题．

试题解析：（1）证明：∵BE⊥OB，
∴BE是⊙O的切线，∵EC是⊙O的切线，
∴EC=EB，
∴∠ECB=∠EBC．
（2）连接CF、CO、AC．

∵EB=EC，OC=OB，
∴EO⊥BC，
∴∠CHF=∠CHO=90°，
在Rt△CFH中，∵CF=6，sin∠FCH=，
∴FH=CFsin∠FCH=，CH=，
设OC=OF=x，
在Rt△COH中，∵OC2=CH2+OH2，
∴x2=（）2+（x-）2，
∴x=5，
∴OH=，
∵OH⊥BC，
∴CH=HB，∵OA=OB，
∴AC=2OH=．