题目内容
【题目】在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x.
(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;
(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切;
(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
【答案】
(1)
解:∵MN∥BC,
∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C.
∴△AMN∽△ABC.
∴ ,即 ;
∴AN= x;
∴S=S△MNP=S△AMN= xx= x2.(0<x<4)
(2)
解:如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连接AO,OD,则AO=OD= MN.
在Rt△ABC中,BC= =5;
由(1)知△AMN∽△ABC,
∴ ,即 ,
∴MN= x
∴OD= x,
过M点作MQ⊥BC于Q,则MQ=OD= x,
在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角,
∴△BMQ∽△BCA,
∴ ,
∴BM= x,AB=BM+MA= x+x=4
∴x= ,
∴当x= 时,⊙O与直线BC相切
(3)
解:随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连接AP,则O点为AP的中点.
∵MN∥BC,
∴∠AMN=∠B,∠AOM=∠APB,
∴△AMO∽△ABP,
∴ ,
∵AM=MB=2,
故以下分两种情况讨论:
①当0<x≤2时,y=S△PMN= x2,
∴当x=2时,y最大= ×4= ,
②当2<x<4时,设PM,PN分别交BC于E,F,
∵四边形AMPN是矩形,
∴PN∥AM,PN=M=x,
又∵MN∥BC,
∴四边形MBFN是平行四边形;
∴FN=BM=4﹣x,
∴PF=x﹣(4﹣x)=2x﹣4,
又∵△PEF∽△ACB,
∴ ,
∴S△PEF= (x﹣2)2;
y=S△MNP﹣S△PEF= x2﹣ (x﹣2)2=﹣ x2+6x﹣6,
当2<x<4时,y=﹣ x2+6x﹣6=﹣ (x﹣ )2+2,
∴当x= 时,满足2<x<4,y最大=2.
综上所述,当x= 时,y值最大,最大值是2
【解析】(1)由于三角形PMN和AMN的面积相当,那么可通过求三角形AMN的面积来得出三角形PMN的面积,求三角形AMN的面积可根据三角形AMN和ABC相似,根据相似比的平方等于面积比来得出三角形AMN的面积;(2)当圆O与BC相切时,O到BC的距离就是MN的一半,那么关键是求出MN的表达式,可根据三角形AMN和三角形ABC相似,得出MN的表达式,也就求出了O到BC的距离的表达式,如果过M作MQ⊥BC于Q,那么MQ就是O到BC的距离,然后在直角三角形BMQ中,用∠B的正弦函数以及BM的表达式表示出MQ,然后让这两表示MQ的含x的表达式相等,即可求出x的值;(3)要求重合部分的面积首先看P点在三角形ABC内部还是外面,因此可先得出这两种情况的分界线即当P落到BC上时,x的取值,那么P落点BC上时,MN就是三角形ABC的中位线,此时AM=2,因此可分两种情况进行讨论:
①当0<x≤2时,此时重合部分的面积就是三角形PMN的面积,三角形PMN的面积(1)中已经求出,即可的x,y的函数关系式.②当2<x<4时,如果设PM,PN交BC于E,F,那么重合部分就是四边形MEFN,可通过三角形PMN的面积﹣三角形PEF的面积来求重合部分的面积.不难得出PN=AM=x,而四边形BMNF又是个平行四边形,可得出FN=BM,也就有了FN的表达式,就可以求出PF的表达式,然后参照(1)的方法可求出三角形PEF的面积,即可求出四边形MEFN的面积,也就得出了y,x的函数关系式.然后根据两种情况得出的函数的性质,以及对应的自变量的取值范围求出y的最大值即可.
【题目】为了响应市委和市政府“绿色环保,节能减排”的号召,幸福商场用3300元购进甲、乙两种节能灯共计100只,很快售完.这两种节能灯的进价、售价如下表:
进价(元/只) | 售价(元/只) | |
甲种节能灯 | 30 | 40 |
甲种节能灯 | 35 | 50 |
(1)求幸福商场甲、乙两种节能灯各购进了多少只?
(2)全部售完100只节能灯后,商场共计获利多少元?