题目内容
如图：平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接BM．（1）求直线AC的解析式；
（2）动点P从点A出发，沿折线ABC方向 以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得∠MPB与∠BCO互为余角？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）已知A点的坐标，就可以求出OA的长，根据OA=OC，就可以得到C点的坐标，根据待定系数法就可以求出函数解析式．
（2）点P的位置应分P在AB和BC上，两种情况进行讨论．当P在AB上时，△PMB的底边PB可以用时间t表示出来，高是MH的长，因而面积就可以表示出来，再利用当P点在BC边上运动时，表示出P1B，BM长即可得出答案；
（3）本题可以分两种情况进行讨论，当P点在AB边上运动时；当P点在BC边上运动时，分别得出P点坐标即可．
（2）点P的位置应分P在AB和BC上，两种情况进行讨论．当P在AB上时，△PMB的底边PB可以用时间t表示出来，高是MH的长，因而面积就可以表示出来，再利用当P点在BC边上运动时，表示出P1B，BM长即可得出答案；
（3）本题可以分两种情况进行讨论，当P点在AB边上运动时；当P点在BC边上运动时，分别得出P点坐标即可．
解答：
解：（1）过点A作AE⊥x轴垂足为E，如图（1）
∵A（-3，4），
∴AE=4 OE=3，
∴OA=
=5，
∵四边形ABCO为菱形，
∴OC=CB=BA=0A=5，
∴C（5，0）
设直线AC的解析式为：y=kx+b，则
，
解得：
，
∴直线AC的解析式为：y=-
x+
；
（2）由（1）得M点坐标为（0，
），
∴OM=
，
如图（1），当P点在AB边上运动时
由题意得OH=4，
∴HM=OH-OM=4-
=
，
∴s=
BP•MH=
（5-2t）•
，
∴s=-
t+
（0≤t＜
），
当P点在BC边上运动时，记为P1，
在△OMC和△BMC中
∴△OMC≌△BMC（SAS），
∴OM=BM=
，∠MOC=∠MBC=90°，
∴S=
P1B•BM=
（2t-5）×
，
∴S=
t-
（
＜t≤5）；
（3）∵∠AOC=∠ABC，
∴∠AOM=∠ABM，
∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOH=90°，
∴∠MPB=∠AOH，
∴∠MPB=∠MBH．
当P点在AB边上运动时，如图（2）
∵∠MPB=∠MBH，
∴PM=BM，
∵MH⊥PB，
∴PH=HB=2，
∴PA=AH-PH=1，
∴此时P点坐标为：（-2，4）；
当P点在BC边上运动时，如图（3），过点P作PN⊥CO于点N，
∵∠BHM=∠PBM=90°，∠MPB=∠MBH，
∴tan∠MPB=tan∠MBH，
∴
=
，
即
=
，
∴BP=
，
∴PC=BC-BP=5-
=
，
∵
=
=
，
∴PN=
，NC=1，
∴NO=4，
∴P点坐标为：（4，
），
综上所述：P点坐标为：（-2，4）；（4，
）．
解：（1）过点A作AE⊥x轴垂足为E，如图（1）∵A（-3，4），
∴AE=4 OE=3，
∴OA=
| AE2+OE2 |
∵四边形ABCO为菱形，
∴OC=CB=BA=0A=5，
∴C（5，0）
设直线AC的解析式为：y=kx+b，则
|
解得：
|
∴直线AC的解析式为：y=-
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
（2）由（1）得M点坐标为（0，
| 5 |
| 2 |
∴OM=
| 5 |
| 2 |
如图（1），当P点在AB边上运动时
由题意得OH=4，
∴HM=OH-OM=4-
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴s=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴s=-
| 3 |
| 2 |
| 15 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
当P点在BC边上运动时，记为P1，
在△OMC和△BMC中
|
∴△OMC≌△BMC（SAS），
∴OM=BM=
| 5 |
| 2 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴S=
| 5 |
| 2 |
| 25 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
（3）∵∠AOC=∠ABC，
∴∠AOM=∠ABM，
∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOH=90°，
∴∠MPB=∠AOH，
∴∠MPB=∠MBH．
当P点在AB边上运动时，如图（2）
∵∠MPB=∠MBH，
∴PM=BM，
∵MH⊥PB，
∴PH=HB=2，
∴PA=AH-PH=1，
∴此时P点坐标为：（-2，4）；
当P点在BC边上运动时，如图（3），过点P作PN⊥CO于点N，
∵∠BHM=∠PBM=90°，∠MPB=∠MBH，
∴tan∠MPB=tan∠MBH，
∴
| BM |
| BP |
| HM |
| HB |
即
| ||
| BP |
| ||
| 2 |
∴BP=
| 10 |
| 3 |
∴PC=BC-BP=5-
| 10 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
∵
| HO |
| AH |
| PN |
| NC |
| 4 |
| 3 |
∴PN=
| 4 |
| 3 |
∴NO=4，
∴P点坐标为：（4，
| 4 |
| 3 |
综上所述：P点坐标为：（-2，4）；（4，
| 4 |
| 3 |
点评：本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式以及全等三角形的判定与性质和锐角三角函数的关系应用，利用分类讨论的思想得出是解题关键．
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| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
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