题目内容

(本题满分12分)
如图所示,在平面直角坐标系中,顶点为()的抛物线交轴于点,交轴于两点(点在点的左侧), 已知点坐标为().

(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点作线段的垂线交抛物线于点
如果以点为圆心的圆与直线相切,请判断抛物
线的对称轴与⊙有怎样的位置关系,并给出证明;
(3)已知点是抛物线上的一个动点,且位于
两点之间,问:当点运动到什么位置时,
面积最大?并求出此时点的坐标和的最大面积.

解:(1)设抛物线为.……………1分 
∵抛物线经过点(0,3),∴.∴.……………2分 
∴抛物线为. ……………………………3分
(2) 答:与⊙相交 …………………………………………………………………4分
证明:当时,.
为(2,0),为(6,0).∴.…………………5分
设⊙相切于点,连接,则.
,∴.
又∵,∴.∴.……6分
.∴.∴.…………………………7分
∵抛物线的对称轴,∴点到的距离为2.
∴抛物线的对称轴与⊙相交. ……………………………………………8分
(3) 解:如图,过点作平行于轴的直线交于点
可求出的解析式为.…………………………………………9分
点的坐标为(),则点的坐标为().
.……………10分 
,
∴当时,的面积最大为.        ……………11分 
此时,点的坐标为(3,). ………12分
解析:
函数与圆相结合,有一定的难度。
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