Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=

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2

BC．
（1）求∠BAC的度数；
（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形；
（3）若BD=6，CD=4，求AD的长．

Answer 1

（1）连接OB和OC；
∵OE⊥BC，∴BE=CE；
∵OE=

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2

BC，∴∠BOC=90°，∴∠BAC=45°；（2分）

（2）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°；
由折叠可知，AG=AF=AD，∠AGH=∠AFH=90°，
∠BAG=∠BAD，∠CAF=∠CAD，（3分）
∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°；
∴∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°；
∴四边形AFHG是正方形；（5分）

（3）由（2）得，∠BHC=90°，GH=HF=AD，GB=BD=6，CF=CD=4；
设AD的长为x，则BH=GH-GB=x-6，CH=HF-CF=x-4．（7分）
在Rt△BCH中，BH²+CH²=BC²，∴（x-6）²+（x-4）²=10²；
解得，x₁=12，x₂=-2（不合题意，舍去）；
∴AD=12． （8分）