题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB与直线y=x相交于点B,点B的横坐标为3,点A(0,6).
(1)求直线AB的解析式;
(2)动点P从原点O出发,以每秒个单位长度的速度沿x轴正方向运动,过点P作直线y=x的垂线,垂足为C,连接AP,AP的中点为D,连接CD,设CD=d,点P运动的时间为t秒,求d与t的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,当tan∠APC=时,求t的值.
【答案】(1) y=﹣x+6;(2)见解析;(3)t=或9
.
【解析】
(1)根据题意将点B的横坐标代入y=x中可以求得点B的坐标,然后根据点A和点B的坐标即可求得直线AB的解析式,用代入系数法求;
(2)根据题意可以画出相应的图形,然后利用分类讨论的方法可以求得d与t的函数关系式;
(3)根据(2)中的条件和图形,可以求得相应的t的值.
解:(1)∵直线AB与直线y=x相交于点B,点B的横坐标为3,
∴点B的坐标为(3,3),
设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),
将A(0,6),B(3,3)代入y=kx+b,得
,
解得:,
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6;
(2)如图一所示,
∵点P从原点O出发,以每秒个单位长度的速度沿x轴正方向运动,
∴点P的坐标为(,0),
∵点D为AP得中点,点A(0,﹣6),
∴点D的坐标为(,3),
∵PC⊥OB,直线OB的解析式为y=x,点P的坐标为(,0),
∴∠PCO=90°,∠BOP=45°,
∴OC=t,
∴点C的坐标为:(,
),
∵CD=d,
∴d==3﹣
(0<t≤3
);
如图二所示,
∵点P从原点O出发,以每秒个单位长度的速度沿x轴正方向运动,
∴点P的坐标为(,0),
∵点D为AP得中点,点A(0,﹣6),
∴点D的坐标为(,3),
∵PC⊥OB,直线OB的解析式为y=x,点P的坐标为(,0),
∴∠PCO=90°,∠BOP=45°,
∴OC=t,
∴点C的坐标为:(,
),
∵CD=d,
∴d==
﹣3(t>3
);
(3)如图一所示,作DE⊥OB于点E,
∵PC⊥OB,DE⊥OB,
∴PC∥DE,
∴∠EDP=∠APC,
∵DC=3﹣,点D(
,3),点C(
,
),
∴DC⊥x轴,
∴∠CDE=45°,
∴CE=DE==
,
∵PC=t,tan∠APC=,
∴tan∠EDP=,
∴,
解得,t=;
如图二所示,作DE⊥OB于点E,
∵PC⊥OB,DE⊥OB,
∴PC∥DE,
∴∠EDP=∠APC,
∵DC=﹣3,点D(
,3),点C(
,
),
∴DC⊥x轴,
∴∠CDE=45°,
∴CE=DE==
,
∵PC=t,tan∠APC=,
∴tan∠ADE=,
∴,
解得,t=9.
