Question

如图，在坐标系中有一点A（-1，2），关于直线x=1对称得点B，将点B向上平移m个单位得到点C，
（1）用m表示C点的坐标；
（2）在x轴上存在一点P（n，0），使PA+PC的值最小，求n的值．

Answer 1

分析：（1）因为A和B关于直线x=1对称，所以可以求出B的坐标，又因为C是将点B向上平移m个单位得，根据平移的规律可得到C的坐标；
（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′C，其与x轴的交点即为所求的点P．

解答：解（1）∵点A（-1，2），点B和点A关于直线x=1对称，
∴B点的坐标为（3，2），
∵将点B向上平移m个单位得到点C，
∴C点D的坐标是（3，2+m）；

（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′C，A′C与x轴的交点即为所求的点P，
则点A关于x轴的对称点A′（-1，-2），
设直线CA′的解析式为y=kx+b，
过点C（3，2+m）和A′（-1，-2），
∴

-k+b=-2  3k+b=2+m

，
解得：

k=1+ m 4 b=-1+ m 4

，
∴y=（1+

m

4

）x-1+

m

4

，
∵y=（1+

m

4

）x-1+

m

4

与x轴的交点就是y=0时，
即（1+

m

4

）x-1+

m

4

=0，
解得：x=

1- m 4

1+ m 4

，
∴点P的坐标是（

1- m 4

1+ m 4

，0）．
即存在这样的点P使PA+PC的值最小，P点的坐标为（

1- m 4

1+ m 4

，0）．

点评：本题考查轴对称-最短路线问题，注意掌握两点关于某条直线对称，横纵坐标中有一个坐标是相等的，另一坐标为2×对称轴-已知点的坐标；凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．