题目内容
平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），D是BC边上的动点（与点B、C不重合）．如图②，将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG，DF重合．（1）图①中，若△COD翻折后点F落在OA边上，求直线DE的解析式；
（2）设（1）中所求直线DE与x轴交于点M，请你猜想过点M、C且关于y轴对称的抛物线与直线DE的公共点的个数，在图①的图形中，通过计算验证你的猜想；
（3）图②中，设E（10，b），求b的最小值．
分析：（1）由于折叠前后三角形全等，可得出D、E两点坐标，可求直线DE解析式；
（2）由于抛物线过点C（0，6），对称轴是y轴，可设抛物线解析式y=ax2+6，由y=-x+12：得M（12，0），将M点代入抛物线解析式可确定解析式，联立直线与抛物线解析式可得唯一点坐标；
（3）由折叠性质可证△COD∽△BDE，得出相似比，设CD=a，∵AE=b，∴DB=10-a，BE=6-b，可得出a与b的二次函数关系式，用二次函数性质解答本题．
（2）由于抛物线过点C（0，6），对称轴是y轴，可设抛物线解析式y=ax2+6，由y=-x+12：得M（12，0），将M点代入抛物线解析式可确定解析式，联立直线与抛物线解析式可得唯一点坐标；
（3）由折叠性质可证△COD∽△BDE，得出相似比，设CD=a，∵AE=b，∴DB=10-a，BE=6-b，可得出a与b的二次函数关系式，用二次函数性质解答本题．
解答：解：
（1）已知A（10，0），C（0，6），由折叠可知D（6，6），E（10，2），
设直线DE解析式：y=kx+b，则
，
解得
∴直线DE的解析式为：y=-x+12；
（2）过点M、C且关于y轴对称的抛物线与直线DE的公共点只有一个；
设抛物线解析式y=ax2+6，
由y=-x+12：得M（12，0），
把M（12，0）代入抛物线解析式得a=-
，
联立
得x1=x2=12；
故公共点唯一，是（12，0）；
（3）设CD=a，∵AE=b，
∴DB=10-a，BE=6-b，由折叠可知∠CDF=2∠CDO，∠BDG=2∠BDE，而∠CDF+∠BDG=180°，
∴2∠CDO+2∠BDE=180°，∠CDO+∠BDE=90°，
又∵∠CDO+∠COD=90°
∴∠COD=∠BDE
∴△COD∽△BDE
∴
=
即
=
解得b=
a2-
a+6=
（a-5）2+
；
故当a=5时，b的最小值是
．
（1）已知A（10，0），C（0，6），由折叠可知D（6，6），E（10，2），
设直线DE解析式：y=kx+b，则
|
解得
|
∴直线DE的解析式为：y=-x+12；
（2）过点M、C且关于y轴对称的抛物线与直线DE的公共点只有一个；
设抛物线解析式y=ax2+6，
由y=-x+12：得M（12，0），
把M（12，0）代入抛物线解析式得a=-
| 1 |
| 24 |
联立
|
得x1=x2=12；
故公共点唯一，是（12，0）；
（3）设CD=a，∵AE=b，
∴DB=10-a，BE=6-b，由折叠可知∠CDF=2∠CDO，∠BDG=2∠BDE，而∠CDF+∠BDG=180°，
∴2∠CDO+2∠BDE=180°，∠CDO+∠BDE=90°，
又∵∠CDO+∠COD=90°
∴∠COD=∠BDE
∴△COD∽△BDE
∴
| CO |
| BD |
| CD |
| BE |
| 6 |
| 10-a |
| a |
| 6-b |
解得b=
| 1 |
| 6 |
| 5 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
| 11 |
| 6 |
故当a=5时，b的最小值是
| 11 |
| 6 |
点评：本题考查了坐标系里的轴对称问题，运用轴对称的性质求点的坐标及函数解析式，会用全等，相似的知识解答有关问题．
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