题目内容
【题目】如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE，点F是BE上一点，连接CF．
（1）如图1，若∠ECD＝30°，BC＝4，DC＝2，求tan∠CBE的值；
（2）如图2，若BC＝EC，过点E作EM⊥CF，交CF延长线于点M，延长ME、CD相交于点G，连接BG交CM于点N且CM＝MG，
①在射线GM上是否存在一点P，使得△BCP≌△ECG？若存在，请指出点P的位置并证明这对全等三角形；若没有，请说明理由．
②求证：EG＝2MN．
【答案】（1）
；（2）①详见解析；②详见解析.
【解析】
(1)由平行四边形的性质和已知条件得出∠BCE＝∠CED＝90°，由直角三角形的性质得出DE＝
CD＝1，CE＝
，由三角函数定义即可得出结果；
（2）①由等腰直角三角形的性质得出∠MCG＝∠MGC＝45°，由线段垂直平分线的性质得出CP＝CG，得出∠CPM＝∠CGM＝45°，求出∠PCG＝90°，得出∠BCP＝∠ECG，由SAS证明△BCP≌△ECG即可；
②由全等三角形的性质得出BP＝EG，∠BPC＝∠EGC＝45°，得出∠BPG＝90°，证出BP∥MN，得出BN＝GN，MN是△PBG的中位线，由三角形中位线定理得出BP＝2MN，即可得出结论．
（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵CE⊥BC，
∴CE⊥AD，
∴∠BCE＝∠CED＝90°，
∵∠ECD＝30°，DC＝2，
∴DE＝CD＝1，
∴CE＝，
∴tan∠CBE＝
；
（2）①解：在射线GM上存在一点P，MP＝MG时，△BCP≌△ECG；理由如下：
如图2所示：
∵CM＝MG，
∴△CMG是等腰直角三角形，
∴∠MCG＝∠MGC＝45°，
∵MP＝MG，EM⊥CF，
∴CP＝CG，
∴∠CPM＝∠CGM＝45°，
∴∠PCG＝90°，
∴CP⊥CG，
∵∠BCE＝∠PCG＝90°，
∴∠BCP＝∠ECG，
在△BCP和△ECG中，
，
∴△BCP≌△ECG（SAS）；
②证明：由①得：△BCP≌△ECG，
∴BP＝EG，∠BPC＝∠EGC＝45°，
∴∠BPG＝90°，
∴BP∥MN，
∵PM＝GM，
∴BN＝GN，
∴MN是△PBG的中位线，
∴BP＝2MN，
∴EG＝2MN
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