Question

已知二次函数y=x²+2x+t与x轴的两个交点分别为（x₁，0）、（x₂，0），且x₁³+2x₁²+tx₁-3x₁-3x₂-t=7，该二次函数与双曲线y=

k

x

的交点为(1，d)．
（1）t与k的值；
（2）已知点P₁，P₂，…，P_n都在双曲线y=

k

x

(x＞0)上，它们的横坐标分别为a，2a，…，na，O为坐标原点，记S₁=S△P1P2O，S₂=S△P1P3O，…，S_n=S△P1Pn+1O，求S_n．（用含n的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）将x₁³+2x₁²+tx₁-3x₁-3x₂-t=7变形得：x₁（x₁²+2x₁+t）-3（x₁+x₂）-t=7，又由x₁，x₂是方程x²+2x+t=0的两根，即可得：x₁²+2x₁+t=0，x₁+x₂=-2，则解方程组，即可求得t的值，则可得k的值，问题的解；
（2）由点P₁，P₂，P_n都在反比例函数y=

2

x

(x＞0)上，且横坐标分别为a，2a，na，则可求得点P₁，P₂，P_n的纵坐标，过点P₁作P₁A⊥x轴于点A，交OP_n+1于点C，即可求得点C的坐标，利用三角形的面积间的关系，即可求得S_n的值．

解答：解：（1）由x₁³+2x₁²+tx₁-3x₁-3x₂-t=7得：
∴x₁（x₁²+2x₁+t）-3（x₁+x₂）-t=7（﹡），
又∵x₁，x₂是方程x²+2x+t=0的两根，
∴x₁²+2x₁+t=0，x₁+x₂=-2代入（﹡）式得：x₁0-3×（-2）-t=7，
∴t=-1，
∴y=x²+2x-1，将（1，d）代入得，d=2，
∴k=2，
∴y=

2

x

；

（2）∴点P₁，P₂，P_n都在反比例函数y=

2

x

(x＞0)上，且横坐标分别为a，2a，na，
∴点P₁，P₂，P_n的纵坐标分别为

2

a

，

2

2a

，

2

na

．
过点P₁作P₁A⊥x轴于点A，交OP_n+1于点C，
过点P_n+1作P_n+1B⊥y轴于点B，
易求lOPn+1：y=

2

(n+1)2a2

x，
∴C为（a，

2a

(n+1)2a2

），
∴P₁C=

2

a

-

2a

(n+1)2a2

=

2n(n+2)

(n+1)2a

，
∴S△P1Pn+1O=

1

2

×OB×P1C=

1

2

(n+1)a•

2n(n+2)

(n+1)2a

=

n2+2n

n+1

，
∴Sn=

n2+2n

n+1

．

点评：此题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数的几何意义等知识．此题难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键．