Question

【题目】如图①，直线与轴、轴分别交于两点，将沿轴正方向平移后，点、点的对应点分别为点、点，且四边形为菱形，连接，抛物线经过三点，点为上方抛物线上一动点，作，垂足为

求此抛物线的函数关系式；

求线段长度的最大值；

如图②，延长交轴于点，连接，若为等腰三角形，请直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值为．（3）点P的坐标为或

【解析】

（1）先求出A、B的坐标，然后根据菱形的性质和勾股定理求出BC，从而求出点C的坐标，然后将点A、B、C的坐标代入二次函数解析式中即可求出结论；

（2）作PH⊥x轴于H，交AC于点G，利用待定系数法求出直线AC的解析式，设，则，从而求出PG与x的函数关系式，然后根据锐角三角函数求出PE与x的函数关系式，然后利用二次函数求最值即可；

（3）根据点P在BC上方的抛物线上和在AB上方的抛物线上分类讨论，分别画出对应的图形，设出点P的坐标，利用等腰三角形的性质、锐角三角函数列出一元二次方程，即可求出结论．

（1）∵当时，；当时，，

∴，

∵四边形ABCD为菱形

∴，

∴

∴，

解得：

∴抛物线的解析式为：；

（2）作PH⊥x轴于H，交AC于点G，

设直线AC为：，

∴，

解得，

∴．

设，则，

∴=

∵，

∴∠BAO=60°，

∵四边形ABCD为菱形，

∴∠CAD=30°，

∴∠PGE=∠AGH=60°，

∴，

∴===，

∵，

∴当时，最大，最大值为．

（3）①当点P在BC上方的抛物线上时，作PH⊥x轴于H，

由（2）知∠CAD=30°，

∵PE⊥AC

∴∠PFO=90°－∠CAD=60°

∵△OPF为等腰三角形

∴△OPF为等边三角形

∴∠POH=60°

∴PH=OH·tan∠POH=

设，则PH=，OH=x

∴

解得：（不符合前提条件，舍去）

∴此时点P的坐标为；

②当点P在AB上方的抛物线上时，作PH⊥x轴于H，

由（2）知∠CAD=30°，

∵PE⊥AC

∴∠PFA=90°－∠CAD=60°

∴∠PFO=120°

∴等腰三角形OPF中，FO=FP

∴∠FOP=∠FPO=∠PFA=30°

在Rt△OPH中， PH=OH·tan∠POH=

设（x＜0），则PH=，OH=-x

∴

解得：（不符合前提条件，舍去）

∴此时点P的坐标为；

综上：点P的坐标为或．