Question

如图，OABC是一个放在平面直角坐标系中的矩形，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=3，OC=4，平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线运动的时间为t(秒)．

(1)写出点B的坐标；
(2)t为何值时，MN=AC；
(3)设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值?并求S的最大值．

Answer 1

(1)点B的坐标是(3，4)（2）当t=1.5秒或t=4.5秒时，MN=AC．
(3) 抛物线S="-" t²+4 t，当t=3时，S有最大值6．

解析试题分析：解：(1)点B的坐标是(3，4) (2)当t=1.5秒或t=4.5秒时，MN=AC(3) 当t=3时，S有最大值6．

(2)当0<t≤3时，(图1)
∵MN∥AC,且MN=AC，
∴M是OA的中点．
∴t=1.5秒．

当3＜t＜6时，(图2)
设直线m与x轴交点为D，
∵MN∥AC且MN=AC，
∴M为AB的中点．
可证：△AMD≌△BMN．
∴BN=AD=t-3．
∴△BMN～△BAC．
∴
∴=.
∴t=4.5秒．
当t=1.5秒或t=4.5秒时，MN=AC．

(3)当0<t≤3时，OM=t．(图3)
由△OMN～△OAC，得，
∴ON=t，S=t²．
当3＜ t＜6时，(图4)
∵OD= t,∴AD= t-3．
易知四边形ADNC是平行四边形,∴CN=AD=t-3．BN=6-t．
由△BMN～△BAC，可得BM=BN=8-t，∴AM=-4+t．
S=矩形OABC的面积－Rt△OAM的面积－Rt△MBN的面积－Rt△NCO的面积
=12－ (－4+t) － ×(8－t)(6－t) － (t－3)
=－t²+4t．
当0<t≤3时，
∵抛物线S= t²的开口向上，在对称轴t =0的右边，S随t的增大而增大，
∴当t =3时，S可取到最大值×3²=6．
当3＜t＜6时，
∵抛物线S="-" t²+4 t的开口向下，它的顶点是(3，6)，
∴S＜6.             综上，当t=3时，S有最大值6．
考点：二次函数的综合题型
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有矩形的性质、三角形中位线定理、全等三角形及相似三角形的判定和性质、二次函数的应用等．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．