题目内容
如图，OABC是一个放在平面直角坐标系中的矩形，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=3，OC=4，平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分
别交于点M、N，直线运动的时间为t（秒）．（1）写出点B的坐标；
（2）t为何值时，MN=
| 1 | 2 |
（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值？并求S的最大值．
分析：（1）由于四边形OABC是矩形，可直接根据OA、OC的长写出B点的坐标；
（2）此题要分两种情况考虑：
①M在线段OA上，N在线段OC上时，即0＜t≤3时，若MN=
AC，则MN是△OAC的中位线，此时OA=2OM，据此可求出t的值；
②M在线段AB上，N在线段BC上时，即3＜t＜6时，若MN=
AC，则MN是△ABC的中位线，设直线m与x轴的交点为D，可证得△AMD≌△BMN，由此可得BN=AD，进而可求出OD的长及t的值；
（3）参照（2）的解题思路，此题也要分作两种情况：
①当0＜t≤3时，M在线段OA上，N在线段OC上；可用t分别表示出OM、ON的长，进而可求出S、t的函数关系式；
②当3＜t＜6时，M在线段AB上，N在线段BC上；此时△OMN的面积，可由矩形OABC、△OMD、△OCN的面积差求得；
得出相关的函数解析式后，根据函数的性质及对应的自变量的取值范围，即可求出S的最大值及对应的t的值．
（2）此题要分两种情况考虑：
①M在线段OA上，N在线段OC上时，即0＜t≤3时，若MN=
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| 2 |
②M在线段AB上，N在线段BC上时，即3＜t＜6时，若MN=
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| 2 |
（3）参照（2）的解题思路，此题也要分作两种情况：
①当0＜t≤3时，M在线段OA上，N在线段OC上；可用t分别表示出OM、ON的长，进而可求出S、t的函数关系式；
②当3＜t＜6时，M在线段AB上，N在线段BC上；此时△OMN的面积，可由矩形OABC、△OMD、△OCN的面积差求得；
得出相关的函数解析式后，根据函数的性质及对应的自变量的取值范围，即可求出S的最大值及对应的t的值．
解答：解：（1）点B的坐标是（3，4）；（1分）
（2）当0＜t≤3时，∵MN∥AC，且MN=
AC，
∴M是AB的中点；
∴t=1.5秒；
当3＜t＜6时，
设直线m与x轴交点为D，
∵MN∥AC且MN=
AC，
∴M为AB的中点；
可证：△AMD≌△BMN；
∴BN=AD=t-3；
∴△BMN∽△BAC；
∴
=
∴
=
；
∴t=4.5秒；
当t=1.5秒或t=4.5秒时，MN=
AC；（3分）
（3）当0＜t≤3时，OM=t；
由△OMN∽△OAC，得
=
，
∴ON=
t，S=
t2；（4分）
当3＜t＜6时，
∵OD=t，
∴AD=t-3；
易知四边形ADNC是平行四边形，
∴CN=AD=t-3，BN=6-t；
由△BMN∽△BAC，可得BM=
BN=8-
t，
∴AM=-4+
t；
S=S矩形OABC-SRt△OAM-SRt△MBN-SRt△NCO
=12-
（-4+
t）-
×（8-
t）（6-t）-
（t-3）
=-
t2+4t；
当0＜t≤3时，
∵抛物线S=
t2的开口向上，在对称轴t=0的右边，S随t的增大而增大，
∴当t=3时，S可取到最大值
×32=6．
当3＜t＜6时，
∵抛物线S=-
t2+4t的开口向下，它的顶点是（3，6），
∴S＜6；（8分）
综上，当t=3时，S有最大值6．
（2）当0＜t≤3时，∵MN∥AC，且MN=
| 1 |
| 2 |
∴M是AB的中点；
∴t=1.5秒；
当3＜t＜6时，
设直线m与x轴交点为D，
∵MN∥AC且MN=
| 1 |
| 2 |
∴M为AB的中点；
可证：△AMD≌△BMN；
∴BN=AD=t-3；
∴△BMN∽△BAC；
∴
| BN |
| BC |
| MN |
| AC |
∴
| t-3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴t=4.5秒；
当t=1.5秒或t=4.5秒时，MN=
| 1 |
| 2 |
（3）当0＜t≤3时，OM=t；
由△OMN∽△OAC，得
| OM |
| OA |
| ON |
| OC |
∴ON=
| 3 |
| 4 |
| 2 |
| 3 |
当3＜t＜6时，
∵OD=t，
∴AD=t-3；
易知四边形ADNC是平行四边形，
∴CN=AD=t-3，BN=6-t；
由△BMN∽△BAC，可得BM=
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
∴AM=-4+
| 4 |
| 3 |
S=S矩形OABC-SRt△OAM-SRt△MBN-SRt△NCO
=12-
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| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 2 |
=-
| 2 |
| 3 |
当0＜t≤3时，
∵抛物线S=
| 2 |
| 3 |
∴当t=3时，S可取到最大值
| 2 |
| 3 |
当3＜t＜6时，
∵抛物线S=-
| 2 |
| 3 |
∴S＜6；（8分）
综上，当t=3时，S有最大值6．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有矩形的性质、三角形中位线定理、全等三角形及相似三角形的判定和性质、二次函数的应用等．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
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