Question

在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，P是斜边AC上的一个动点，D为BC上的一点，且PB=PD，ED⊥AC垂足为E．
（1）如图（1）试确定PE与AC之间的数量关系

 

（2）如图（2）在（1）的条件下，若P点在AC的延长线上时，（1）中结论是否成立？如果成立，请给予证明．
（3）如图（1）当AP=1时，四边形PBDE的面积为

 

平方单位（直接写出结果，不要求解答过程）．

Answer 1

分析：（1）作斜边AC的中线BO，即可推出BO⊥BC，且BO=OC=AO，然后通过求证△POB≌△DEP，推出PE=BO，即可推出PE与AC的数量关系，（2）依然成立，通过求证△OPB≌△EDP即可推出结论，（3）做作斜边AC的中线BO，根据（1）所推出的结论，即可得：PE=OB=2

2

，DE=CE=OP=2

2

-1，通过S_{四边形PBDE}=S_△BPO+S_△BOC-S_△CDE，即可推出S_{四边形PBDE}的值．

解答：解：（1）作斜边AC的中线BO，
∵△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BO⊥BC，且BO=OC=AO，∠A=∠C=45°，
∵ED⊥AC，
∴∠EDC=∠OBC=OBA∠=45°，
∵PB=PD，
∴∠PDB=∠PBD=45°+∠PBO=45°+∠DPC，
∴∠PBO=∠DPC
∵ED⊥AC，
∴Rt△BOP≌Rt△PDE，
∴BO=PE，
∴PE=OC=AO，
∴PE=

1

2

AC，


（2）作斜边AC的中线BO，
∵△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BO⊥BC，且BO=OC=AO，
∵AE⊥DE，
∴∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠CDE=45°，
∵PD=PB，
∴∠PDC=∠CBD，
∵∠DPE=∠DCE+∠PDC，∠OBP=∠OBC+∠CBP，
∴∠DPE=∠OBP，
∴△OPB≌△EDP，
∴OB=PE，
∴PE=OA=OC，
∴PE=

1

2

AC，

（3）如（1）中的图，作斜边AC的中线BO，
∵等腰直角三角形ABC，AB=BC=4，
∴OB=OC=OA=2

2

，
∵AP=1，
∴OP=2

2

-1，
∵Rt△BOP≌Rt△PDE，
∵ED⊥AC，
∴∠EDC=∠OBC=OBA∠=45°，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴PE=OB=2

2

，DE=CE=OP=2

2

-1，
∵S_{四边形PBDE}=S_△BPO+S_△BOC-S_△CDE
=

2 2 (2 2 -1)

2

+

2 2 • 2

2

-

(2 2 -1)2

2

=

3

2

．
故答案为：PE=

1

2

AC，

3

2

．

点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的面积公式等知识点，关键在于根据题意推出△OPB和△EDP全等及相关边的长度．