题目内容
如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,试猜想EF与AD之间有什么关系?并证明你的猜想.


AD⊥EF,AD平分EF,
证明:∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,
∴∠DEF=∠DFE,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEA=∠DFA=90°,
∴∠DEA-∠DEF=∠DFA-∠DFE,
即∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF,
∴A在EF的垂直平分线上,
∵DE=DF,
∴D在EF的垂直平分线上,
即AD是EF的垂直平分线,
∴AD⊥EF,AD平分EF.
证明:∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,
∴∠DEF=∠DFE,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEA=∠DFA=90°,
∴∠DEA-∠DEF=∠DFA-∠DFE,
即∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF,
∴A在EF的垂直平分线上,
∵DE=DF,
∴D在EF的垂直平分线上,
即AD是EF的垂直平分线,
∴AD⊥EF,AD平分EF.

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