题目内容
【题目】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1-S2的最大值．
【答案】
【解析】
试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；
（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，可设出P点坐标，从而可表示出PH的长，可表示出△PEB的面积，进一步可表示出直线AP的解析式，可求得F点的坐标，联立直线BC和PA的解析式，可表示出E点横坐标，从而可表示出△CEF的面积，再利用二次函数的性质可求得S1-S2的最大值．
试题解析：（1）由题意可得
，解得
，
∴抛物线解析式为y=-
；
（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，
∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，
∴四边形ABDC为等腰梯形，
∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，
∴D（3，2）；
当点D在x轴下方时，
∵∠DBA=∠CAO，
∴BD∥AC，
∵C（0，2），
∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（-1，0）代入可求得k=2，
∴直线AC解析式为y=2x+2，
∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=-8，
∴直线BD解析式为y=2x-8，
联立直线BD和抛物线解析式可得
，解得
或
，
∴D（-5，-18）；
综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（-5，-18）；
（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，
设P（t，-
t+2），
由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=- 
，
∴H（t，-
），
∴PH=yP-yH=-
=-
，
设直线AP的解析式为y=px+q，
∴
，解得
，
∴直线AP的解析式为y=（-
t+2）（x+1），令x=0可得y=2-t，
∴F（0，2-t），
∴CF=2-（2-t）=t，
联立直线AP和直线BC解析式可得
，解得x=
，即E点的横坐标为，
∴S1=
PH（xB-xE）=（-t2+2t）（5-），S2=
，
∴S1-S2=（-t2+2t）（5-）-，=-
t2+5t=-（t-
）2+
，
∴当t=时，有S1-S2有最大值，最大值为．
