Question

【题目】如图1，抛物线：与：相交于点O、C，与分别交x轴于点B、A，且B为线段AO的中点．

（1）求的值；

（2）若OC⊥AC，求△OAC的面积；

（3）抛物线C2的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下：

①点P为抛物线C2对称轴l上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

②如图2，点E在抛物线C2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①P（，）；②E（，），．

【解析】

试题分析：（1）由两抛物线解析式可分别用a和b表示出A、B两点的坐标，利用B为OA的中点可得到a和b之间的关系式；

（2）由抛物线解析式可先求得C点坐标，过C作CD⊥x轴于点D，可证得△OCD∽△CAD，由相似三角形的性质可得到关于a的方程，可求得OA和CD的长，可求得△OAC的面积；

（3）①连接OC与l的交点即为满足条件的点P，可求得OC的解析式，则可求得P点坐标；

②设出E点坐标，则可表示出△EOB的面积，过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，可先求得BC的解析式，则可表示出EN的长，进一步可表示出△EBC的面积，则可表示出四边形OBCE的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，及E点的坐标．

试题解析：

（1）在y=x2+ax中，当y=0时，x2+ax=0，x1=0，x2=﹣a，∴B（﹣a，0），在y=﹣x2+bx中，当y=0时，﹣x2+bx=0，x1=0，x2=b，∴A（0，b），∵B为OA的中点，∴b=﹣2a，∴；

（2）联立两抛物线解析式可得：，消去y整理可得，解得，，当时，，∴C（，），过C作CD⊥x轴于点D，如图1，∴D（，0），∵∠OCA=90°，∴△OCD∽△CAD，∴，∴CD2=ADOD，即，∴a1=0（舍去），（舍去），，∴OA=-2a=，CD==1，∴；

（3）①抛物线，∴其对称轴，点A关于l2的对称点为O（0，0），C（ ，1），则P为直线OC与l2的交点，设OC的解析式为y=kx，∴1=k，得k=，∴OC的解析式为，当时，，∴P（，）；

②设E（m，）（），则，而B（，0），C（ ，1），设直线BC的解析式为y=kx+b，由，解得：k= ，b=-2，∴直线BC的解析式为，过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，如图2，则，即x=

∴EN=

∴

∴S四边形OBCE=S△OBE+S△EBC

，∵，∴当时，，当时，，∴E（，），．