Question

已知：如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，斜边AB的长为4，过点C作射线CP//AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且∠DAE=45°，AC与DE交于点O．

（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）设CD=x，BAE = y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△COD与△BEA相似，求CD的值．

Answer 1

(1)略；（2）y= ，定义域0＜x＜2；（3）当CD=时，△COD与△BEA相似．

试题分析：
(1)根据等腰三角形的性质，得出角相等，然后角的等量代换，得出其余角相等，即可证明三角形相似；
由（1）的结论可以得到线段成比例，解直角三角形即可求出函数解析式，并确定定义域；
先由相似得出线段比例关系，设未知数解方程即可.
试题解析：
（1）证明：∵△ACB是等腰直角三角形
∴∠CAB＝∠B=45°
∵CP//AB
∴∠DCA＝∠CAB=45°
∴∠DCA＝∠B
∵∠DAE=45°
∴∠DAC+∠CAE=∠CAE+∠EAB
∴∠DAC=∠EAB
∴△DCA∽△EAB
∴
即且∠DAE=∠CAB=45°
∴△ADE∽△ACB．
（2）过点E作EH⊥AB于点H
由（1）得△DCA∽△EAB
∴
∵△ACB是等腰直角三角形，且CD=x
∴EB=x
∴EH=BH=x
∴AH=4—x
在Rt△AEH中，BAE=
即y=
定义域0＜x＜2．
（3）若△COD与△BEA相似，又△BEA与相似△DCA
即△COD与△DCA相似
∴只有△DCO∽△ACD
∴
∵∠DAO＝∠CEO
∴∠CEO＝∠EAB
∴tan∠CEO＝y
即
∴
∴
解得，
经检验都是原方程的实数根，不合题意舍去
∴当CD=时，△COD与△BEA相似．